DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 169 



Queste ultime formule sono parlicolarmente comode in quanlo che, per 

 awicinarsi al valori delle radici, occorre determinare i coefficienti delle 

 successive trasformate, e, quando si conoscano B, C, si scorgera quasi 

 sempre a colpo d'occhio quali sieno i segni dei /"j /",; e puo anche 

 notarsi che se f, e f, abbiano segni opposti, non occorre ricercare 

 qual sia il segno di f, (giacche esso non cangia il numero delle va- 

 riazioni). Non rade volte bastera conoscere i numeri totali delle ra- 

 dici positive e delle negative; ora tali nuineri si desumono dai segni 

 degli ultimi e dei primi termini dei polinomii (*). La nostra equa- 

 zione non puo avere radici negative, ed atteso le 4 variazioni che 

 essa presenta, potrebbe avere 4 radici positive; ma quando e x = i 



polinomii (*) avendo i segni 1 \- presentano 3 variazioni, e 



quando x=^ eo hanno i segni h -h con una variazione, dun- 



que due sole sono le radici positive. L'equazione e le sue trasfor- 

 mate in (x — 1) ed in {x — 3) hanno i coefficienti 



(0) 1 — 4 + 36—108 + 81 (4 variazioni) 



(1) 1+0 + 30— 44+ 6 (2 variazioni) 

 (3) 1+8 + 54 + 108 + 54 (nessuna) 



Si potrebbe domandare se le due radici positive cadono Ira ed I. 

 oppure tra I e 5; ora le formule (") applicate alia trasformata (1) 

 mostrano che i segni sono h h (avendosi trascurato di deter- 

 minare il segno di /",, giacche esso cade fra due segni opposti), per- 

 cio le tre variazioni si conservano da ad 1, sicche in quell inter- 

 vallo non cadono radici; quindi le sole radici reali sono quelle indi- 

 cate dalle variazioni della trasformata (1): non si determinarono i se- 

 gni delle (**) corrispondenti alia (3), perche si sapeva ch' essi deg- 

 giono presentare una variazione tanto come quelli corrispondenti ad 

 a- r= eo , giacche la mancanza di variazioni della (3) rende sicuri che 

 nessuna radice e maggiore di 5. Del reslo senza usare del teorema 

 dello Sturm bastava osservare, che la trasformata in (x — 1) ha un coef- 

 ficiente nullo compreso fra due di segni uguali, per riconoscere che 

 X = 1 e un valore critico ; cosi pure il dubbio sulla realta delle ra- 

 dici tra 1 e 3 e tollo dalla trasformata in (x — 2), la quale ha Pulti- 

 mo termine negativo. 



III. 22 



