1 70 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI 



65. Potra avvenire che il polinomio F=Jx"-\- 5x"~' + ecc., ed il 

 suo derkato F' =^n Ax"~' -\-{n — 1) 5a:"~' + ccc. abbiano un qualche 

 fattore ooiminc; in lal caso lo stesso faltore dividera pure senza residuo 

 Uilti gli altri polinoinii F,= — F-[-(f>,F\ Fj^ — F'-\-(p^F^^ F^^ — F,4- 

 -\-(f),F,^ecc.^ e pcrcio giungereino finahiienle a F.^., = — F__,+9„F, = 

 ed F„ saia 11 fattor connine a tutli i F„_,, F„_,, .... F,, F, F; qiiindi, 

 posto F^=F,^G., la data equazione F=0 si decomporra nelle due 

 F„^0, G^O, le quali saranno piu facili da risolvere perche di grado 

 meno elevato. Quesla decomposizionc non mancbera inai di aver hiogo 

 quando Tequazlone F^O ammetta delle radici multiple (§ 18), ed i 

 fattori multipli del polinomio F saranno sempre anche fattori del po- 

 linomio F„, ma \'i saranno contenuti una volta di meno; siccbe ancbe 

 F„ e G (ecceltuato il caso che sieno uguali) avranno un fattore co- 

 mune, e si potranno ancora abbassare di grado le due equazioni F„ :^ 

 G = 0. Noi dunque abbiamo veduto che "gli stessi calcoli coi quali 

 si trovano i polinomii, che secondo il teorema dello Sturm (^ 61) ser- 

 vono a determinare i numeri delle radici comprese in dati infervalli, 

 fanno anche conoscere se la proposta equazione ammetta radici mul- 

 tiple, ed in tal caso servono ad abbassarla di grado " . 



64. Nel suddetto caso che la serie dei polinomii F, F, F,, F3...., 

 anziche terminare (§ 61) con una quantila F„ indipendente da x, ter- 

 mini col polinomio F„, non sussiste la dimostrazione data al § 60, poi- 

 che tutti i polinomii possono svanire insieme; nuUadimeno se non si 

 voglia rifare i calcoli relativamente alle nuove equazioni, nelle quali la 

 proposta viene a decomporsi, si potranno adoperare i polinomii 



F„_ F, F' F 



i quali sono tra loro dipendenti mediante le solite relazioni 



F. F F' F„_, F„_, 



F„~~ F^'^^' F^' "" ~~ F^ +<?"■— p'^ 



e pei quali ancora si verifica la condizione, che ogni valore che fa sva- 

 nire rultimo termine F: F„, produce la perdila di una variazione. D'al- 



