DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 73 



dimoslrazione, la quale del resto si deduce dalla teoria degli indici 

 del Cauchy. 



68. Si cominci dallo slabilire che per primo polinomio ausiliario 

 By' — Dy-hF intendesi quello che ha per ultimo lermine il penult imo 

 coefficiente del proposlo polinomio J x^ -{- B x^ -\-C x'' -\- D x' -\- E x' -\- 

 -i~Fx-\-G, e i cui altri coefficienti sono quelli che ne distanno di 2, 

 di 4 ecc. posti, presi alternativamente coi segni cangiali; similmente 

 che il secondo polinomio ausiliario — A y^ -\- C if — Ey-\-G ha per 

 ultimo termine Vultimo del polinomio proposto. e gli altri suoi coef- 

 ficienti sono quelli che ne sono distanti di 2, di 4 ecc. posti, presi 

 coi segni alternativamente cangiali: il primo polinomio ausiliario egua- 

 gliato a zero da la prima equazione ausiliaria . Cio poslo, -' per una 

 radice positlva della prima equazione ausiliaria si determinino i segni 

 dei valori che prendono il secondo polinomio ausiliario quando vi si 

 sostituisce tal radice, ed il primo polinomio ausiliario quando vi si so- 

 stiluisce un valore pochissimo inferiore a tal radice; se questi segni 

 sieno opposti si avra V indice -{-1, se sieno eguali si avra Tindice — 1: 

 si ripeta la stessa considerazione per tutte le radici positiK^e della prima 

 equazione ausiliaria : alia somma di tutti questi indici si aggiunga — 1 

 nel solo caso che gli ultimi termini dei due polinomii ausiliarii ab- 

 biano segni opposti: inoltre, se il polinomio proposto sia di grado pari, 

 e se i due primi termini dei polinomii ausiliarii sieno di segni oppo- 

 sti, si aggiunga -l-l: la somma di tutti questi numeri costituira V in- 

 dice corrispondente al proposto polinomio. Si calcolino nello stesso 

 modo gli indici corrispondenti ai polinomii in {x — a), in {x — o), ecc. 

 La diflerenza di due di questi indici dara il numero delle radici reali 

 od immaginarie della proposta equazione, la cui parte reale e com- 

 presa nel corrispondente inlervallo " ; cosl si sapra in quali intervalli 

 si debbano ricercare i valori di a che danno i desiderati fattori x' — 

 — 2 a X -h u^ -h b. II precedente teorema sussiste anche se la pro- 

 posta equazione ammette radici multiple. Per maggior semplicita in- 

 tendo esclusi i casi nei quali svanisca il primo o Tultimo termine del 

 primo polinomio ausiliario, o che la prima equazione ausiliaria am- 

 metta qualche radice posiliva multipla; questi sono casi eccezionali 



