I'ARTK STRA.NIERA. 2IO 



Si ha sovente neU'analisi occasione di consiclerare le 

 sei-ie ordinate secondo le poteiize ascendent! della sola va- 

 riabile a; , cioe le serie della forma 



(2) Oo) ^1^1 a^x^ , cisx dnx"' ecc. 



do , o, , Oj . . . . a„ ecc. rappresentando dei coefllcienti co- 

 stanti. Alcuni autori mostrarono di credere che si potesse 

 senipre rendere convergente una simile serie attribuendo 

 alia variabile x un valoi'e abbastanza piccolo :, ma qnesta 

 opinione non e ammissiljile, potendo accadere che una serie 

 ordinata secondo le potenze ascendenti di re resti diver- 

 gente per tutti i valori positivi e negativi della variabile x. 

 Tale e per esempio la serie seguente 



I, i-2«x, 1 • 2-3'X^ , i'2'3'4*a;^"- 



D' altronde quando la serie (a) puo divenir convergente 

 per certi valori reali di x , questi valori sono sempre 

 compresi fra due limiti uguali , ma afFetti da segni con- 

 trarj che e facile determinare colla regola che iio data 

 neU'Analisi algebrica (p. i5i ). Aggiungiamo che la me- 

 desima regola puo facilmente estendersi al caso in cui i 

 valori di x divengono immaginarj, 



Quando due serie convergenti ed ordinate secondo le po- 

 tenze ascendenti della variabile a; ofFrono somme uguali, 

 queste due serie sono necessariamente identiche (Vedi Ana- 

 lisi algeljrica pag. i63). 



Se dopo aver sostituito nella serie (2) alia variabile x 



1." e* , 2.° e~* "■^5 si combinino per addizione 



e sottrazione i termini corrispondenti delle due serie cosi 

 formate e si divida in seguito ciascuna somma per 2 e 

 ciascuna difFerenza per 2. |/-I, si otten-a una nuova se- 

 rie della quale i difFerenti termini saranno 



(3) Uoi tticosx^ a2C0S2x , as cos 3x ... a^, cos nx ecc. 

 ovvero 



(4) «! sin X , a^.siti ix , a^ sin S.r . . . a„ sin nx ecc. 



le serie (3) e (4) sono ordinate secondo i coseni e i 

 seai dei niultipli delF arco x. 



Quando due serie simili alia serie (3) o (4) sono 

 convergenti ed olFrono somme uguali per tutti i valori di 

 X compresi fra certi limiti, non si puo aiFerraare che que- 

 ste due serie siano identiciie : cosi per esempio quando la 



