PARTE STRANIERA. 217 



termini delle serie accresciuta d' un resto? Ma e evldente 

 die allora si potrebbero scegliere arbitrariamente gli n 

 primi termini, determinando poi convenieiitcmente il re- 

 sto suddetto. In conclnsione, (juando si tratta non di una 

 serie composta d' un numero finlto di termini e completata 

 con un resto , uia d' una serie indefinitamente prolungata , 

 non crediamo che si possa dire che la serie e lo sviluppo 

 della funzione , e che la funzione e rappresentata dalla 

 serie, a meno che questa sia convergente ed oiTra per somma 

 la funzione stessa. Anzi non basta che per una certa snc- 

 cessione di operazioni si possano estrarre da una funzione 

 data i difl'erenti termini di una serie convergente, perche si 

 sia in diritto di afFermare che questa serie rappresenta la 

 funzione luedesima^ cosi per esempio, benche con una suc- 

 cessione d'integrazioni per parti si possa stabilire la forraola 



f{x) =f{o)^n f\x-z)dz 

 J o 



= f{o)^-fXo)*r-f\x-z)dz 

 ^ J o ^ 



t= /(o) + 7/(0)- ^/"(o)-^ r ff\x-z) dz 



1 I'J. J Q \'l 



e per consegnenza estrarre successlvamente dalla funzione 

 /(x) i dilTerenti termini della serie 



(8) /(o), ^/(c), ^/'(o), ecc. 



non hasta che la serie (8) sia convergente perche si sia 

 in diritto di rigunrdarla come rappresentante la funzione 

 data. Bisogna ancora che F integrate che completa la serie 

 decresca a niisura che si considerano piii termini. Si sup- 

 ponga in particolare 



f {x) =■ e ■+• e ^^ 



la serie (8) dlverra 



. x"^ x^ 

 I , — X ^ •> — 1 ecc. 



1-2 i-2-6 



