328 APPENDIcn 



Designando con c una quantith costante e sostituendo 

 alia fnnzlone / (x) fiinzioni della forma f (x) — c F (x) 

 si puo imineJiatamente dedurre dal prime teorema uii se- 

 condo eiiiinciato qui sotto : 



a." Teorema. Se le funzionl f (x) , -f(x) si anmdlino 

 I'una e V ultra per x = o , e di piii la F (x) non cainhi 

 di segno fra i limiti x = o x = X , allora sup]>onendo 

 X compreso fra questi limiti si potra trovare iin numero 

 die esscndo minore dell' unita verifidii I' equazione. 



^^ F (x) F' {Ox) 



Quando le derivate dei diversi ordinl di f (x) , F(x), 

 siuo alle derivate dell' ordine 7i — i si annullano tutte 

 per X = o e che quelle di F (x) non canibiano di se- 

 gno fra i limiti x = o x = X si pub alia formola (3) 

 sostituire la seguente ; 



^^^ F (.r) ~ i^(") {Ox) ' 



Se In quest" ultima equazione si ponga 

 F (.r) = .t" 



Si trovera 



i{x) c^^^idx) 



X I • 2 • O • • • « 



ovvero 



(5) f(.r) = ^ £<"^0x)- 



C: I • 2 • O • • • 72 



La formola (5) e applicablle ad ogni fnnzione che si 

 annulla insieme con x e colle sue derivate di un ordine 

 minore di n. Le equazloni (3), (4), (5) stabiliscono 

 relazioni rimarcabili tra le funzioni e le loro derivate. 



Essendo data una funzione qualunque di x rappresen- 

 tata da / (x) , e dato un numero intero qualunque n , 

 e sempre facile trovare una funzione intera (J) (x) il di 

 cui grado non sorpassi n e che sia scelta in modo che 

 tanto le due funzioni / (x) , <p (x) quanto le loro deri- 

 vate di un ordine minore di n acquistino sempre dei 

 valori eguali per x = o ; infatti si abbia 



. / <p (x) = a '^ bx -*- cx^ •+■ ccc. . . -♦- hx" 



. ?j— I 



