De omvendte Functioner. 163 



Abel har ikke givet noget directe Bevis for dette 

 smukke Theorem, men i Virkehgheden forekommer Bevi- 

 set, om end lidt skjult, i den ovenciterede Mémoire pag. 

 200—204. Det her givne Bevis for det Tilfælde, at /^ = 5, 

 er paa lidt nær det samme som Abels. 



Omendskjønt det saaledes er umuligt at opløse den 

 almindelige Ligning af 5te Grad, existerer der dog visse 

 specielle 5te Gradsligninger, som ere opløselige ved de sæd- 

 vanlige Radicaler. Den naturligste Vei foråt finde den al- 

 mindeligste Ligning af 5te Grad, der lader sig løse alge- 

 braisk, vilde være af Lign. (1) at eliminere b, c, d og i 

 den resulterende Ligning mellem p, B, C, D, E at bestemme 

 de Relationer, som maatte finde Sted mellem Coefficien- 

 terne B, C, D, E foråt denne Endeligning lod sig reducera 

 til en Ligning af 4de Grad. Ulykkeligvis synes uoversti- 

 geHge Vanskehgheder at stille sig imod Udførelsen af denne 

 Elimination. Men man kan supponere visse Betingelses- 

 ligninger mellem b, c, d og p eller man kan give enkelte 

 af disse Størrelser visse Specialværdier og søge de tilsva- 

 rende Specialligninger af 5te Grad, som lade sig alge- 

 braisk løse. 



Sætter man saaledes f. Ex. 



c — og d = 

 da blive Relationerne mellem Coefficienterne følgende: 

 — E =: p + b^p2, J) = — 5bp, C = — 5b2p, B = 0. 



C D^ 



Deraf findes: b = ^r ^S P = — ^? altsaa p-|-b^p^:= 



_ _ ^' . J^ - ^ F 

 ~ ' 5C "T" 25D ~ 



Man har altsaa Ligningen: 



^ '^5C ~ 25D 



x^ + Cx^ + Dx + (S, - ^) - 0. 



