184 Sopra i Logaritmi. 



tre differenti breviffime dimòftrazioni del fuddetto Teo- 

 rema , e dedurne pofcia come tanti Corollarj tutte le 

 principali proprietà delle formole immaginarie ed elpo- 

 iienziali . Sia dunque 



TEOREMA. 



Il logaritmo dì qualunque quantità pofitiua ha un' in- 

 finita di valori , de' quali uno [oh è reale , e tutti gli al- 

 tri immaginar] ; ed il logaritmo di qualJìvogUa quantità 

 negatila ha un numero infinito di valori ma Jolamentc 

 immaginari . 



DIMOSTRAZIONE I. 



I. Defcritto un cerchio col femidiametro = i , dicali 



(p l'arco, a cui corrifponde 1' afcifTa o il fenoverfo^:;^ ; 



dx I 



e fi avrà , come e noto , d(p = -, = , . 



y(2.x — X') y — 1 



dx . y / ^^ 



• I , cioè dì,\J 1 = 7— — - ; 



\J{X-~lXy ^^ y/i^x^^ix) 



xdx — dx 



dx ^x—\-\-^/{x^-^x)\ ]/ {x^'—zx) 



y/fx' — zx)\x—i-\-]/{x^—2x)J X—l-ir^ix^'—zx) 

 Offervo , che il numeratore di quefta frazione è il dif- 

 ferenziale del denominatore ; e però pafTando agi' inte- 

 grali nafce (p]/ — i = log. ( x — i--\-y{x'' — ix) ) -j- colf. 

 E perchè fvanifcono inlìeme «f ed x, rifulta colf . = 

 • — log. — I. Dunque <p^/ — i t=:-\oo.(i—x—]/ {x^—zxj) . 

 Piglio ora il feno verfo x uguale a tutto il diametro 

 2 , e nominando tt la femicirconferenza del cerchio , 

 oflèrvo , che al feno verfo =2 corrifpondono tutti gli 

 archi feguenti dcw; ì^tt; ìjtt; dby?: ; ecc. in infinito, 

 rapprefentati generalmente da ±(2« — i)7r,dove « è un 

 numero intero qualunque dal zero fino all'infinito. In 

 queffa ipotefi adunque fi ha ±{zn — iJ7r^/— i = log. — i . 

 E però pofta A una qualfivoglia grandezza, il di cui 



logaritmo 



