Sopra i Logaritmi. 185 



lo?;i ritmo naturale lia^<?, lìccome ii ha log. -^n log. 

 y^lj_log. — I, farà quindi log. — A = ci±(2n~i)7:^'-i ; 

 che è una parte del Teorema . 



II. Per dimortrare 1' altra parte , fi ponga mente , 

 che qualora fi prende il feno verfo x=o, V arco c{> 

 acquilta un' infinità di valori , cioè o ; rt2 7r;±47r; ±67r ; 

 ecc. in infinito, efprefiì generalmente daÌ2«;r, dove a 

 rapprefenta qualunque numero intero dal zero fino all' 

 infinito. In qiiefio luppollo adunque fi otterrà ±2«7r^/-i 

 = log. I . Elìèndo poi log. A = log. A -[- log. i = ^ -j- 

 log. I , farà in confeguenza log. ^ = <zdr 2«t|/— i . Dal 

 che fi fcorge, che degl'infiniti valori <rdb 2/777-^—1 uno 

 folo è reale, cioc quello che corrifponde ad n = o, e 

 tutti gli altri infiniti fono immaginar]; che era l'altra 

 parte del Teorema . 



DIMOSTRAZIONE II. 



I. Prendafi x pel cofeno dell'arco cp, e fi avrà dalla 

 nota proprietà del cerchio rfcf) = — — 



dx I , , / dx 

 ■=. , ' . ~ì ; onde d'pv — i = -, ■ 



xdx — dx 



__ dx /.v+/(.\"— 1)\ ]/{x^ — •!) 



\/ {x''—i)\x-'^]/ {x^'—i)/ x-\-^{x^-—i) 



Laonde pigliando gì' integrali farà (jy — i = — log. 

 (x-\-\/{x- — i)) fenza aggiunta di coftante, perchè fi 

 annullano i due membri dell' ugualtà quando x=.i. 

 Sicché proviene (j^|/— i = — log. ( x-j-(/(.v-— i) )=:log. 



■ -. — ^ = log. ^.v — y{x^—i)^. Se pertanto fi affu- 



me il cofeno xr=^ — i, acquifta I' arco corrifpondente 

 cf> tutti i feguenti infiniti valori ±r ; itjTr ; ±5?:; ecc. 



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