$22 S O F K A UN PROBLEMA 



PROBLEMA ULTIMO. 



74. Partendofi dallo flato primitivo delle dite urne ,Jt 

 cerca il numero delle combinaz.ioni contrarie a rimettere 

 almeno una volta in A tutte le bianche n nel ccrfo dt 

 qualfivoglia numero di permutaxioni , 



Erette le colonne competenti a ciafcuna permutazio- 

 ne 5 fi avrà 



per I. permutazione: n—i 2(n—i) [ «—2 (»— i)' | ; on- 

 de le combinazioni contrarie; (n—i)(n-iri); 

 peri.perm. n-i 2(n-i)ìn-i z(n-i)n-z (n-iy\n-z (n~iy 

 n-i 2(«-ij|»-2 (n-iy\n-i 4 |«-2 -^(n-t) 



n-z (n-iY , / ,,/ , 



ecc. , ',j ; comb. contr.(«-i)'(»N-2»-!-2). ecc. 



Non noto altre colonne, perchè nelle fucceflive permu- 

 tazioni crefce di molto il lor numero ; e già fi fa co- 

 me a debba formarle . La ferie contraria , che da effe 

 dimana 5 è la feguentej 

 («— i)(«4-i;; (« — iy(n'J\-zn-\-z); (n — iy(n^J^zn'' 



4-2»' — S); {n — l)'(«*-f-2«'-j-2»'* — 8«' — 40«-f- 56); 

 (« — i)' (»« -f- zn' -{^. zn' — 8»* — 40»' — 1 88«'-|-75 zn 

 — 60 S ) Qcc. , che pure è una ricorrente di 4.° grado 

 generata dai moltiplicatori : 



i.° (n — 1)( — 6n'^-\~'jzn^ — 144/2'); 2-° 3i«* — 142»' 

 -j-78«'-|-2i6« — 144 ; 3.° — izn'' — S'^i^ -{- 148» — 156; 

 4.* «'4- 12» — 28. 



75. Orniamo quell'ultimo Problema di qualche efem- 

 pio . Sia il numero di bianche ;z = i . In tale ipotefi 

 Ci annullano tutti i termini della ricorrente contraria; 

 il che ci dà una certezza di avere almeno una volta 

 bianche i qualunque fia il numero delle permutazioni 

 che domandiamo . In fatti , eflendo lo fiato primitivo 

 delle urne , che in A fia folo una nera , e in B una 

 fola bianca, colla prima permutazione è manifefio ,che 

 in A a trasferifcc la bianca , paflando la nera nella fc- 



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