34 Ludwig, lieber Variationskurven u. Variationeflächen der Pflanzen. 



Leucanthemum bei 21 etc.), sondern in der grossen Zahl über- 

 haupt Constanten Verlauf. Daher operirte ich mit den grossen 

 Zahlen nun überhaupt nicht mehr, um Durchschnittsverhältnisse 

 festzustellen, sondern um den ganzen gesetzmässigen Variations- 

 complex festzulegen. Ich schlug damit eine Methode ein, die, wie 

 ich erst nachträglich erfuhr, Quetelet in seinen späteren Unter- 

 suchungen (vgl. besonders dessen Buch ; Anthropometrie ou mesure 

 des differentes facultas de l'homme. Brüssel, Gent und Leipzig 

 1871) auf anthropologischem Gebiet einschlug. 



Q u e t e 1 et hat das Gesetz von den grossen Zahlen dahin er- 

 gänzt, dass nicht nur das Mittel der Variation in der grossen Zahl 

 der Beobachtungen constant bleibt, sondern auch die vom Mittel 

 abweichenden Werthe (die den „causes accidentelles" ent- 

 springen) gesetzmässig auftreten. 



Stellt man (wie wir dies oben für Chrysanthemum Leucanthe- 

 mumthaten) die überhaupt vorkommenden Grössen als die Abscissen, 

 die Häufigkeit ihres Auftretens durch die Ordinaten eines recht- 

 winkligen Coordinatensystems dar, so geben die Endpunkte der 

 Ordinaten, wenn man sie verbindet, eine Curve constanten Ver- 

 laufes. Und zwar stimmen die sämmtlichen Curven, so lange 

 die Variationen um ein einzelnes Merkmal schwanken (ein- 

 fache Curven Quetelet s), mit den binomialen Wahrschein- 

 iichkeits-Curven Newtons und Pascals (la loi 

 du binome illustre par les recherches de Newton et de Pascal) überein. 

 Man erhält diese Curven, wenn man das Binom (a-f-b)"^ für die 

 verschiedenen Werthe von n entwickelt, dann je nach der Natur 

 des Problems b = 1 ; a = 1 oder a = m setzt und die einzelnen 

 Elemente der so erhaltenen Zahlenreihe in gleichen Entfernungen 

 senkrecht auf eine Abscisse aufträgt (für a = b erhält man 

 symmetrische, für a = mb unsymmetrische Curven). Für a = 

 b = 1 werden z. B. die betreffenden Elemente der Formel*) 



(a -f b}° = a'' -f n a°-i b + n(n-l)a°-2 b^ + n ( n-l)(n-2) a«-^' b» + . . . 



1 . 2 1.2.3 



1 + 1 =2 



1 -f 2 + 1 = 2^ 



1 + 8 + 3 + 1 =23 



1+4 + 6 + 4 + 1 =2* 



1-4-5 + 10+10 + 5+1 =2 

 (no)+(ni) + (n2) + (ns) + (n«) = 2- 



C)0 



*) Bekanntlich dient das Ne wto n'sche Binom (a-f-b)° zur Berechnung 

 der Aussichten, aus einer Urne mit weissen und schwarzen Bällen eine be- 

 liebige Combination herauszugreifen. Ist a die Wahrscheinlichkeit, einen 

 schwarzen, b die, einen weissen Ball zu gi'eifen, so ist bei einmaliger Wieder- 

 holung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der schwarze Ball r mal gegriffen 

 wird nra^-rb'"; die Zahl der überhaupt möglichen Fälle 'a -j- b)° = (no^ 

 a"» -f (ni) a»-* b -f (na) a^-^ h^ 4- . . (nr) a°-r b^-f . . . (nn)bn u s. w. Dies liegt 

 der Anwendung auf die Variabilität zu Grunde (vgl. des Nähei-en Quetelet, 

 Anthropometrie etc). 



Das Auftreten der Varianten einer naturhistorischen Species nach con- 

 stanten Curven weiss Verse ha ff elt durch folgendes Raisonneraent zu be- 



