290 Ludwig, Nachtrag!. Bemerkungen ü. d. Multipla d. Fibonaccizahlen. 



Weise wie die Schallwelle nach dem F ouri er' sehen Satz aus 

 einfachen Sinuswellen, den reinen Wellen der Grundtöne und ihrer 

 Obertöne zusammengesetzt, d. h. durch Summation ihrer Ordinaten 

 dargestellt werden kann. Die Grundtöne bestimmen dann die 

 Hauptgipfel , die Partialtöne die Nebengipfel der resultirenden 

 Gesammtwelle. 



Auch in den zusammengesetzten Variationscurven treten neben 

 den Hauptgipfeln solche Nebengipfel auf, welche in gewissem Sinne 

 den Theilschwingungen der Seite entsprechen. Sie liegen bei den 

 Duplis und Triplis der Fibonaccizahlen und finden sich regelmässig 

 lieben letzteren bei der numerischen Valvation der Blüten im 

 Blutenstand, der Blätter am Jahrestrieb und anderer 

 seitlicher nach Divergenzen der Blattstellungs-Hauptreihe ange- 

 ordneter Organe. Bei der grossen Aehnlichkeit der zusammen- 

 gesetzten Binomialcurven mit den Curveu zur Darstellung der 

 Scliwinguugen, welche musikalische Klänge erzeugen, liegt die Ver- 

 suchung nahe, des Weiteren die Parallele zu ziehen zwischen den 

 musikalischen Obertönen, deren Schwingungszahlen bezüglich den 

 2-, 3-, 4-, 5-fachen Werth von denen der Grundtöne haben und 

 jenen Partialschwingungen der Variation. Sie dürfte aber, wie das 

 Folgende zeigt, doch wohl auf falschen Weg führen. 



Zum Verständniss der Herkunft jener Dupla und Tripla der 

 Fibonaccizahlen ist es nöthig, sich ihre Beziehungen zu diesen selbst 

 klar zu machen und diese sind mit wenigen Worten ausgedrückt 

 die folgenden : 



Die Dupla t heilen die Intervalle der Hauptreihe 

 (1, 2, 3, 5, 8, 13 . .) bezüglich in den Verhältnissen der 

 Hauptreihe selbst (1:2, 2:3, 3:5). Es ist z. B. in der Reihe 

 mit den Duplis 1 2 3 4 5 6 8 10 13 16 21 26 .. . (6-5): (8 -6) 

 = 1:2, (16— 13): (21— 16) = 3:5, (26— 21) : (34-26) =5:8, 

 (42— 34): (55— 42) = 8:13. 



Die neuen Intervalle werden sodann durch die 

 Tripla in den Verhältnissen der Haupt reihe getheilt 

 (die Theilung findet in demselben Rhythmus, aber von den Fibonacci- 

 zahlen dort nach der einen, hier nach der entgegengesetzten 

 Richtung statt). Es ist z. B. in dieser neuer Reihe . . . 15, 16, 

 21, 24, 26, 34, 39, 42, 55, 63, 68, 89, 102, HO, 144, 165, 198 .. . 

 (24— 21): (26—24) = 3:2, (39— 34): (42— 39) = 5:3, (63—55): 

 (68—63) = 8:5, (102— 89): (HO— 102) = 13:8, (165— 144): (198 

 —165) = 21:13. 



Wollte man nun die neuen Intervalle weiter nach denselben 

 Verhältnissen (abwechselnd von rechts nach links und von links 

 nach rechts) theilen, so müsste man nach einander noch die Fünf- 

 fachen, Achtfachen, Dreizehn fachen der Fibonacci- 

 zahlen zu Hilfe nehmen. Dagegen hätten die Vierfachen, 

 Sechsfachen und andere „Multipla" eine solche Bedeutung 

 nicht. 



Die vorstehenden Erörterungen machen es wahrscheinlich, dass 

 die Variation in ihren Nebenschwaukungen (Partial- 



