Ludwlpf, Die iitlniizlichen Variationscurven etc. 243 



Wahrscheiuliclikcitscurve auf analytischem Weg beruht auf dem 

 Gauss'schen Fehlergesetz. Die Statistiker, welche die analytische 

 Methode gewählt haben, beziehen sich in ihren Schriften meist 

 nicht auf diese Quelle, sondern auf Schriften ausländischer Mathe- 

 matiker (so Gal ton, Brcwsteru. A. auf M. Merriman A Text- 

 book on tlie method of least Squares New-York 1884, Id. On the 

 method of least Squares London Macmillan 1885, Qu^telet Lettres 

 sur la theorie des probabilites etc. Brüssel 1886 etc.). 



Da, Avie ich meine, eine Anwendung der Gauss'schen Formeln 

 für die Wahrseheinlichkeitscurve nicht recht ohne Kenntniss von 

 ■deren Ableitung geschehen kann, der Botaniker sich auch bei Be- 

 hauptung der Uebereinstimmung der durch Entwicklung des 

 Binoms_(p -j- q)" abgeleiteten Curve und der mittels des Integrals 



e ^-^dx gewonneneu Wahrseheinlichkeitscurve nicht be- 

 n ° 



ruhigen, sondern nach einem Warum fragen wird, so glaube ich 

 im Folgenden diese Ableitung voranschicken zu sollen. Ich folge 

 dabei den Deductionen eines deutschen Mathematikers: 



Durch sehr einfache Betrachtungen gelangt G. Hagen (Grund- 

 züge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin 1867) zu dem zuerst 

 von Gauss (1809), später von Thomas Young und Bessel 

 auf Grund anderer Hypothesen abgeleiteten Ausdruck für die 

 Wahrscheinlichkeit des Eintretens der Fehler von 

 verschiedener Grösse, der nach den späteren Untersuchungen 

 zunächst der Anthropologen und Zoologen und den neueren Be- 

 obachtungen der Botaniker auch bei der gewöhnlichsten 

 Variation eines Merkmals einer naturhistorischen 

 Speciesfür die Häufigkeit der vom Mittel ab- 

 weichenden Werte volle Geltung hat. Hagen geht 

 dabei von der Hypothese aus, dass der Beobachtungsfehler die 

 algebraische Summe einer unendHch grossen Anzahl elementarer 

 Fehler ist, die alle gleichen Werth haben und ebenso leicht posi- 

 tiv, wie negativ sein können. Das Verhältniss ist dasselbe, wie 

 bei den Combinationen der Züge weisser und schwarzer Kugeln, 

 die in gleicher Zahl in einer Urne liegen, wenn man wiederholt 

 eine Kugel herauszieht, die man dann, nachdem man sie gesehen, 

 wieder in die Urne wirft. Denkt man sich die sämmthchen Com- 

 binationen der schwarzen und weissen Kugeln, die bei v Zügen 

 möglich sind, der Reihe nach als Abscissen auf eine Gerade abge- 

 traii;en, so dass die Abscisse 1 eine weisse und r — 1 schAvarze, 

 die Abscisse 2 zwei weisse und v — 2 schwarze Kugeln bezeichnet, 

 und giebt man den zugehörigen Ordinalen solche Längen, dass sie 

 in beliebigem Massstab der Wahrscheinlichkeit der betreffenden 

 Combinationen entsprechen, so geben die Verbindungslinien der 

 Endpunkte die bekannte, früher von uns (1. c.) erörterte Binomial- 

 curve, die einzelnen Ordinatenlängen entsprechen den aufeinander- 

 folgenden Koeffizienten des Binoms (p -\- q)"- In der Mitte ist die 



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