244 Ludwig, Die pflanzlichen Variiitionscurven etc. 



Auzahl der schwarzen und weissen Kugeln gleich gross, der Fehler 

 gleich Null. Ist V eine grade Zahl = 2n, so ist die mittlere Or- 

 dinate (die Wahrscheinlichkeit dieser Combination E = 2"^". (2n)n ) 



,o ^ ^ «• • 11 «- 2n (2 n-l) (2n-2) . . . (n + 1) 

 wo (2n)n den Bmomialkoeff. — 7^ — ^ ■ ~ 



bezeichnet. Da im Anfang v Züge vorausgesetzt wurden, wobei 

 die Abscissen immer um eine Einheit wuchsen, wird man bei Ein- 

 führung von n unter Beibehaltung derselben Einheit die letzteren 

 um ^'2 wachsen lassen, was bezeichnet, dass eine halbe weisse 

 Kugel fortgenommen und eine halbe schwarze hinzugekommen ist, 

 dass die Differenz beider um eine ganze Kugel oder der durch 

 diese Differenz symbolisirte Beobachtungsfehler sich um einen 

 elementaren Fehler vergrössert hat. Hagen drückt nunmehr die 

 vorhergehenden und folgenden Binomialkoeffizienteu durch den 

 mittleren E aus, d. h. durch die Wahrsch., dass der Fehler = 

 ist und ebenso die Wahrscheinlichkeiten für Fehler die 1, 2, 3 . . . 

 elementaren Fehlern gleich sind. Es ist für den Fehler 



allgemein für den Fehler = m 



_^ d(ii— 1) (n— m-f- I) 



y (n+l)(n + 2)...(n + m) " 



für die nächstfolgende Ordinate = m -j- 1 



n(n— l)...(n 



(n+l)(n + 2)...(n-f m + 1) 



^ . . , . 2m + 1 



Es ist daher y' — y = — ^\^_^i 'T 



v' — " ^" '^ ' • ' ^" '- E = ■ v 



J Ct. _L n /'r. _L 9^ Cr. J- m _J- n ■ „ I m J- 1 ' «^ • 



Da sich nach der anfänglichen Voraussetzung der Fehler m 

 aus unendlich vielen elementaren Fehlern zusammensetzt, so vers 

 schwindet dieser einzelne Fehler im Zähler und Nenner. Es it- 

 ferner jeder wirkliche vorkommende Fehler, dessen Wahrscheinlich- 

 keit grösser als Null ist, unendlich klein gegen den grössten denk- 

 baren Fehler. Auch die Zahl der elementaren Fehler n, mithin 

 auch die Anzahl der Binomialkoeffizienten oder der Ordinaten ist 

 unendlich gross (die Curve setzt sich auf beiden Seiten asymp- 

 totisch zur Abscissenaxe ins Unendliche fort). Daher ist der grössto 

 denkbare Fehler unendlich gross gegen jeden noch zu erwartenden 

 Fehler m = x und dieser wieder gegen den letzten elementaren 

 Fehler (der bisher = 1 gesetzt wurde). Mithin ist 



2x 



Wachsen die Fehler nicht mehr stufenfünnig um die unendlich 

 kleinen Einheiten der elementaren Fehler, wird die Curve con- 

 tinuirlich, so wird diese Einheit =dx und y' — y = dy. Die 



