246 Ludwig, Die pflanzlichen Vaiiationscurven etc. 



Gründen, als Einheits-Mass der Beobachtungsfeliler einen gewissen 

 charakteristischen Fehler zu wählen, der unmittelbar die 

 Schärfe der Messung kennzeichnet und zwar ersclieint am ge- 

 eignetsten der sogen, wahrscheinliche Fehler oder die 

 wahrscheinliche Abweichung, die auch in der anthro- 

 pologischen und zoologischen Statistik die meiste Anwendung ge- 

 funden hat. Führt man die wahrscheinliche AbAveichung als 

 Längenmass für die Abscissen der Wahrscheinlichkeits- bezüglich 

 Variationscurven ein, so lassen sich auch die Ordinaten in be- 

 stimmten Zahlenwerten ausdrücken und die durch sie begrenzten 

 Flächen. Letzteres ist darum besonders wichtig, weil diese Flächen 

 unmittelbar die Frequenz der Abweichungen vom Mittel angeben, 

 die gewisse Vielfache oder Teile des wahrscheinlichen Fehlers sind. 



Ausserdem in Betracht kommen könnte der mittlere Fehler 

 oder die mittlere Abweichung, oder noch besser das mittlere 

 Fehlerquadrat, die jedoch zu dem wahrscheinlichen Fehler in ein- 

 facher Beziehung stehen. 



Der mittlere Fehler ist gleich der Summe der einzelnen Fehler 

 (Abweichungen) dividirt durch ihre Anzahl. Ist die Anzahl der 

 Beobachtungen unendlicn gross, so ergiebt sich die Summe der 

 Fehler (Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeit der Fehler 

 in die Wahrscheinlichkeiten ihres Vorkommens), nämlich: 



+ 00 /» XX _ XX 



/ 



-00 



(cf. Hagen, p. 57) 



— Kn 

 für X = gleich ^- , für x ^ 00 gleich Null, also 



Vn . . Vn 



bis 00 gleich — ^:= , von — 00 bis -|- 00 gleich -7=- 



2V ^ f^ ^ 



I 



Die Anzahl der Fehler / ydx von — oc bis -|- oc ist = 1 ; 



mithin der mittlere Fehler 



m = It:^ _, 0,56420 KTi oder (vergl oben) ni = -^. 



y 71 ^^ 



Ist nur eine beschränkte Anzahl von Fehlern ge- 

 geben, die aber nach Massgabe ihrer W^ah r schein- 

 lich keit verthe il t sind, so ergibt sich der s e Ib e We rth 

 für m. Bei sehr zahlreichen Beobachtungen ist der mittlere Fehler 

 brauchbar. Vorthcilhafter ist jedoch das mittlere Fehler- 

 quadrat d. h. die Summe der Quadrate der einzelnen Fehler, 

 dividirt durch ihre Anzahl. 



