138 Sopra 1.' E Q.U AZIONE 



fiiione. Ma ben lungi, che le differenze parziali —r •> — non 



^ dy dx 



fi annullino in quel fuppofl-o, come vuole il Teorema , tro- 



vafi , che fi annullano realmente ancor effe in infiniti cafi, 



^^ . , . dZ dP , „ 



Ed in fatti — = {y — af ~\-n? {j — aY-' 

 aj dy 



d<è dZ dS 



^ ^(x — by, e —^-^^(x — by^m^fx — b)"-^ 

 dy dx dx 



dP 



-h -r (J' — i^T; ^ quefte due efpreffioni fono evidentemente 



nulle nell' ipotefi dìy = a, e di x=:b tutte le volte , che 

 gli efponenti m , }j fuperano 1' unità , vale a dire in infi- 

 niti cafi ; contro ciò , che fi afferifce nella feconda parte del 

 Teorema. 



Finirò con rifpondere all' ultima fua dimanda di comuni- 

 carle una nuova dimoftrazione del bel Teorema concernente 

 1' uguaglianza fra il logaritmo iperbolico del numero 2 , e la 

 ferie armonica a termini infinitefimi , non parendole piena- 

 mente foddisfacenti le dimoftrazioni da lei vedute . Ecco dun- 

 que il Teorema ; 



E/fendo » = co , dico , eie 1 1 j • 



■" n+ 1 ' «-i-z »-+- 3 ' « + 4 



-1 h H — = log. 2 . ■ ' 



Dimostrazione. 



Lo fviluppo de' termini della ferie armonica dà le feguert- 

 ti equazioni. 



I __^ I , I _ij* Ì4_L_, 



»+i n '/i^'~n* n* n^ n^ n^ 



I I 2,2* 2*. 2* 2' . 2* 



•ecc. 



» -f- 3 n n^ ^ n' n* ' n' n^ ' n' 



^=i-t+i:_i:+i*_i;+i^-ecc. 



