I' NEL Calcolo Integrale. i8i 



PROPOSIZIONE II. 



§. V. L'integrale completo dell'equazione (A) 



(A) M = y-i-P^+w tS 



^ ' dx dx 



dipende da un integrale particolare di ciafcheduna delle equa- 

 z.ioni fuccefive e della pfa forma (B), (5), (B'j ecc. 



Dimostrazione. 



Avendo in potere un integrale particolare o incompleto 

 dell'equazione (B) (§. I.) z = X funzione di at , fé ne fac- 

 cia la foitituzione nelle equazioni 

 dj == z.ydx -]- udx 



du 



(C) M — Pu-{-§i{z.u-\---^tcc. 



dx 



e manifefio, ctie avendo nello fìeffo tempo un integrale com- 

 pleto ?;=:X' dell' equazione {C) del grado n — i, il quale 

 conterrà neceflariamente n — i coflanti arbitrarie , li avrà 



djz=zXjdx-\-Xdx; e 

 fXdx r -fXdx 



y=e tA-\-J Xdxe ) farà F integrale completo 



dell' equazione {A). Ma fé in vece dell' integrale completo 

 dell'equazione (C) fi avefle un integrale incompleto dell'equa- 

 zione (jB') {§. IV,) z,' = X", foftituendo quefto valore nelle 

 equazioni 



du = -z^udx 4- ^l'dx 



du' 



(C) M' = P'u'^^(z."u'-\-j^)-i- ecc. 



baflerebbe che fi avefle l'integrale completo ?<' = X''' del l'equa- 

 zione (C) del grado n — 2, mentre l'equazione duz=zX' udx 

 '\-X"dx fomminiflrerebbe I' integrale u = X"' comprendente 

 « — I coftanti arbitrarie . Soflituendo pertanto qucfto valore 

 nell'equazione dj'z= Xjdx^udx ^ fi avrebbe l'integrale com- 

 pleto dell' equazione (A) come prima 



fXdx ^ —fXdx , -.,., 



7 = e (^A-\-J X""dxe ). .,„ ■'.; 



Z iij _ . ^ 



