394 Sopra lb Sjerie. 



Soluzione. 



-.. ,- ocdx x^dx x'dx x'^dx 



Si trova aS= 1 + U — -fece; 



I 1.2.3.4.5 1.2.3...9 1.2.3...13 



,,^ , , , x'^dx^ , x^dx"" , x'^dx'' 



ddS = dx 4 . U ecc. : 



1.2.3.4 1.2. 3... 8 ' 1.2. 3. ..12 ' 



, „ x^dx^ , xVx' x"dx^ 



d'S=: }-- f-ecc; ■•''"'- 



1.2.3 1.2. 3.. .7 ' 1.2. 3. ...II ' 



X'dx'* , AT^^AT* je'°^x* 



d'S = H + 1- ecc. 



1.2 i.2.3...(5 1.2. 3. ..IO 



= dx* (- 1 "—- ~\ \~ ecc. ) = Sdx'' . Ora per 



^ 1.2 ' 1.2, 3.. .6 ' 1.2... IO ' ^ ^ 



r indole dell' equazione differenziale lineare di quart' ordine 

 d*S = Sdx* , lì trova, che un fuo integrale particolare è 

 S = Ae'"-^ ; onde dS=:Amdxe""' , ddS ■= Am'dx'e""' , 

 d'Sz=.Am'dx'c""' , d*S — Am''dx''e'"''z=.Sdx*=:Ae'"''dx*; e per- 

 ciò m'^ — 1 = , ovvero {m^ — i)(m'+i) = o, e confe- 

 guentemente mz=zi , ;«' = — r , w" = ^ — i , ni" =: — j/ — i . 

 Sicché r integrale completo dell' equazione d'*S = Sdx'^ è 

 jie""' 4_ Be'"" 4- Ce™'" + De'"'"" = Ae" -f- Be' " --[- Q" v^ - ' 

 '\-De~'' y^ ~ ^ . Per determinare ora le coftanti arbitrarie 

 A , B , C , D il ofiervi , che quando ,r=o , diventa 



dS ddS ^'^ T^ r 1 



Sz=o, -— = 0, - — ^=1 , -y- = o . Dunque u avranno le 

 dx dx' dx^ 



equazioni feguenti 



I.' yÌ + 5+C4-D = o 



.2.' /4 — B 4- C\/ — I — Z) y/ «— I = o 



^* A-\~B — C — D—i 



V 



4.* A—^B — Cy/ — I -^ D\f — 1 = 0. Sommando 

 la 2.* e la 4." fi ha lA — 2B=:o, cioè A^^B; e fomman- 



1 

 do la prima e la 3." nafce 2A + zB:^ i , ovvero A=^B^=^ . 



