Sopra le Serie. 399 



gato nella 3'. dà 2^4 — (B-f- C)= 1 , ed in quefta foftituen- 

 do il valore della prima A = — (B-\~C) , fi trova per fine 



(B-l-0=: — -,^ = -,(B — C)v/ — i=— -f-. Dunque 

 33 V3 



5=:-%- — -,c— ^^cof.^^— -! fC--i:'fen.^^ . II che 



3 3 2/3 * 



era ecc. 



PROBLEMA IX. 



Trovare la fomma generale dì tutte le ferie della forma 

 ^ I ^ I ^ 



i.2.3....r i.2.3....(r-i-n) i.2.3....(r + in) 



-I Uecc. = S, fupponendo r , n numeri interi 



^i.2.3....(r + 3nj^ ' ^ -^^ 



affermativi . 



Soluzione. 

 Crt/o 1". n>r. 



Prefo il differenziale ».'/'""' di detta ferie , fi vede facil- 



x'dx" x' "*■ "dx" 



mente , che nafcerà d"S= f-^ ■ ' 



1.2.3....?- i.2.^..,.{r + n) 



x'+^dx" , , , X' , x'^" 



A ■■ • + ecc. =: dx" ( — -A , 



' i.2.3....(r j- 2«) ^ 1.2.3. ...r i.2.3-..(r + n) 



X 



r 4- in 



-1 1- ecc.) = J'^^.v" . Se ora per la nota teoria 



' i.2.3....(r+ 2«) '' 



delle equazioni differenziali lineari , fi affume ST=:iAe""' per 

 integrale particolare dell' equazione lineare d"S = Sdx'' , è 

 chiaro che fì avrà d''S = Am''e'"''dx''=^Sdx"z=Aem''dx'', d' on- 

 de fi trae m''= i . Prefe pertanto le n radici dell' equazione 

 m"=zi le quali (effendo n pari) fono i, — ij^z-j-i"/— i, 

 a — b]/ — I ,f-{-g \/ — I ,/— i \^ — i ì ecc. fi otterrà 1' in- 

 tegrale completo dell' equazione d''S=^Sdx'' , il quale farà di 

 quefta forma Ae' -^ Be - ' -\- Ce"" ^ ^'K - • 4- De'" ~ ''"V - ' 

 4- Ee^" + «"v^ - ■ 4- Fé ^'' - •s"»^ - • 4- ecc. = Ae" + Be'" 



