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vrà verificarfi l' equazione afl -}- agm ~\- bln -|- bgh -f- ehm -f- cfn. 

 ^=alm-[-bgn'\~cfh-]-fln'\-ghm , il che viene provato nel 

 teorema Icguente , di cui le due dimoftrazioni , che qui ef- 

 ■pongo , e che deggiono riguardarli come uno de' maggiori 

 sforzi della tinteli , trovate furono dagli alunni Bernardi e. 

 Romano di quefto Collegio militare. 



TEOREMA I. 



Se da un punto G { fig. V. ) prefo dentro il triangolo RST 



Jt conducano k perpendicolari GA GB GC ai tre lati RT 



RS ST, e dal punto A le AD AH parallele alle GB GC, 



dal punto B le BI BF parallele alle GA GC , e Jinahnents. 



dal punto C le CE CL parallele alle GB GA : dico che 



GAD.BF+GAH.CE-hGBI.AH+GBF.CLs-GCE.BIvGCL.AD= 



GA.BF.CE+BG.CL.AH-fGC.AD.BI-fAD.BF.CLfBI.CE.AH 



B I MO ST KUZ 10 N E P R I M ut . 



Dai punti ABC alle AG BG CG prolungate Ci conduca- 

 no le pcrpcndicohri A^APBOBKCN CM; dai punti OPK 

 alla BG le perpendicolari 0^ PV KX , e dal punto P alla 

 AG la perpendicolare PT; e la AP concorra colla BG net 

 punto Z . 



Pertanto effendo BG : GO : -.GP :GF, e BG : AG : : KG : (JA ; 

 farà GO.GP = BG.GV, ed AG . KG = BG . G:\; dunque GO . 

 <GP^\-AG.KG = BG.V:\; ma BG .Vil^ AP.BO , perchè li ha 

 AP:V^::PZ:VZ::BG:BO ; quindi GO.GP -\~ AG.KG = AP.BO , t 

 quadrando 



GO'.GP'-^AG\KG'-{-GO.GP.AG.iKG=AP\BO' 



fi ponga comune la quantità GO'.GP'^.-GO\AP'-'.GP\BO'-Mà dun- 

 que GO\GP'-^GO\AP'-\-GP'.BO' + GO\GP'^AG'.KG'-\-GO. 

 GP.AG.2KG=AP\B0'-irG0'.GP'-\-G0--.AP'+GP'.B0' ; 

 ma i primi quattro termini del primo membro fono uguali 

 a (;0'((;P'4-/iP')-f-GP'CBO'+(7(}'), ovvero GO\AG'-\-GP\BG' ; 

 e quei del fecondo fono uguali a ((;P'4-^P")(B(?'-j-(J0'} , op- 

 pure AG^'.BG'' 3 dunqiìC 



