I5<» P K O D R O M O 



_y,o loro difTcrenziali . In ft^condo luogo rifletto come per il 



teorema d' altronde noto di Leibnitz non eflendovi luogo 



dA 4B 

 che alla fola condiz.ione — = — :> debbano con quefta fola 



dy dx 



neceffariamentc verificarli ambedue l'equazioni identiche ÌJ 

 — iiPz=:o,N' — dP=.o alfegnate per criterio dell'integrabi- 

 lità da Co/ìdorcet , ed altri Analifti . 



5. Fallando adeflo a ragionare delle funzioni differenziali 

 di iecond' ordine comprefe nella formula gCTìcr ale Adx'+Bdxd/ 

 +Cdy+Dddx-\-Edd)' -, e fattevi per comodo di calcolo le fo- 

 itituzioni di p =L 4x p' z^dy 1 onde la funzione data (i tras- 

 formi nell'altra Fdx ^ Gdj' -\- Hdp + Idp' -, dove F.,G.H.,I 

 rapprefentano funzioni delle quattro variabili x , jy ,p .p' , è 

 certo che avremo per differenziale della medelima 



dF . dxJrFdpUH . dp \-Hddp ovvero dF . dx+(F+dFI) dp+Hddp 

 -^dG . dy ^Gdp'-\- di dp'^-l ddp' -rdG . dy -f-(G + di dp'+ Iddp' 



o lìa (Nìdx+iPjdp-hi^.ddp ■ Da ciò viene ad effere rnanifelto 



+(Nj d}'+{P)'dp M^ì'ddp' 

 che ficcome fono identiche intuitivamente, e di loro natura 

 ambedue l'equazioni 



■ dF — ( </F -f ddH) + ddH= 0, dG=:(dG-{-ddI) = o, 



debbano ancora godere dell' ifteflTi identità le due altre equazioni 



(N) — d{P) -f- d' (m = o, (N)'— diPy 4- d' iW' = <' • 



QLieRe equazioni identiche li verifìcan fempre, né fervono di 

 criterio dell'integrabilità della formula data. Per ottenerlo, 

 e trovare a quefto effetto le due altre equazioni identiche, 

 (.he tiano il criterio dell'integrabilità, convien partire dal 

 teorema di Fontaine ^ il quale, relativamente alla data for- 

 mula Fdx '^- Gdy -^ Hdp -{- Idp' 1 fomminin-ra le fei equazioni 



id-ntiche ^— — 1!^ — 1? d^_dJ fl^d_H dG__dT 

 dy ^ dx' cip ~ "^^ ' 4p'~ 4x' 4P '"dy ' dp'~~ dy ' 



dH di ,, /</F jf 



— = - . Adunque efiendo dF-dF-d'H -{-d'H -{ ^^ dx+~ dp 

 dp' dp ^ \dx jp 



