Le d'JANTlTA' TRASCENDENTI CCC. 419 



2. Ma or qui nafce la curiofità di fapere , perchè (1112: 

 -j- ^ — I cos z, , e fin z— |/ — : cos zefìTendo al pari di cos 2: 

 + V — I fìnz, e COS2: — ]/— I Cinz, i fattori del primo mem- 

 bro dell'equazione rm'z.-i- cos'z.= i , l' Illuftre Eulero abbia 

 fatto ufo ne'fuoi calcoli dei fecondi anzi che dei primi? 



Per trovare la ragione di tate preferenza, cerchiamo a 

 quali confeguenze Tavrebbono condotto i primi fattori fin 2: 

 4- ^/ — I cos z, e fin z. — y^ — I cos 2: . 



Si ha ( fin z, 4- Y^ — i cos z.) (Cinz. — y — i cosz) = i ; ^ 

 (fin z + / — I cosz) (fin/-i-/ — 1 cos/ ) = fin 2, fin7+ ^ — i 

 e cos z. fin/ + fin z, cos/ ) —cos 2, cos/ . Ma fin z. fin/ — cos z. 

 cos/ = — cos ( z,-}-/) , e cosz fin/ 4- fin z cos/ = fin (z +j); 

 dunque ( finz+i/— i cos 2.) (fin/4-^ — icos/) = — cos ( z+/ j 

 4-1/— I fin (z+/) . 



Si troverà nello fl:eiro modo f fin 2.— ^'' — i cosZ. ) ( fin/ 

 — V ~ ' '-^^-•'' ) = """ cos ( z. -}-/ ) — / — I fin e 2: -f/ ) , quindi 

 riunendo i due cafi , ( fin zi y/ — i cosz,)( fin/^:^''— i cos/) 

 = — cos(z:4-/)±V^ ~ ^ ^" (^+.^) ' dunque ponendo 2.=/, 

 fi ha ( fin z± y' — I cosz, )'= — cos 2 zdb y — 1 fin ; z : in 

 fimile guifa fi troverà (fin 2:iy' — i cosz) (fin/iy'—i cos/) 

 (Cìnx±\^ — i cosAr)n= — fin (z+j' + x)Ty—i cos (z-f-/-f a:) ; 

 dunque fupponendo .v=/ = z, li ha (finziy/ — i cosz)' 

 = — fin 3 z 4: / — I cos 3 z . 



Se l\ fa allo flefib modo il prodotto di (fin z±y^ — i cosz) 



( fin/± \/ — l cos/)(finA,-±y'— icosA;)(fin«i:/— icos//) , 



prendendo primieramente 4 poi 5, poi 6, ecc. fattori e fup- 

 ponendo inoltre nelle moltiplicazioni di già ridotte, z =/ 



:x=iUz=:: , fi Otterranno i vaio 



tenze fucceffive di finzi^— i cos z, 

 ( fin z + y' — I cosz)' = + fin z ± ^/ — 

 ( fin z + / — i cos z)'=: — cos 2 z± ^/ — 

 ( fin z + / — I cos z )' = — fin 3 z ^ / — 

 ( fin 2 + y/ — I cos z)'' = 4- cos 4 z ^ / — 

 ( fin z 4; ]/ — I cos z )^ = 4- fin 5 z ± 1/ — 

 (finz + Z— I cosz)* = — cos 6z.±\/ — 



(finz + y/ — I cosz)' = -fin 7zTv/ — 

 (fi^z4:^/ — I cosz)* = 4- cos 8 z 4^/ — 

 (fin z + v/ — I cosz)'=:4-fin 9Zi/ — 

 (fin ^ + / — I €05 2)'°=— COSI OZ-i-/ — 



feguenti dalie po- 



cos z 

 fin 2 z 

 cos 3 z 

 fin 4Z 

 cos 5 z 

 fin 6z. 

 cos yz 

 finSz 

 cos 9 2 

 finioz 



