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Le quantità' trascendenti ecc. 411 



Ma fi la che tutti i numeri interi pofTibili fono contenuti 

 neir una o nell' altra delie quattro formole 4» , ■^n~{~i , 

 4«-f-2, 4»4~3 5 dunque le otto equazioni precedenti rap- 

 prefentano la fomma o la differenza di tutte le potenze in- 

 tiere poflibili dei fattori finz.-f-V' — i cosz.,l\nz.—y' — icosz. 

 efprefla nel feno o cofeno dell'arco z, moltiplicato dall' cfpo- 

 nente delle ftefle potenze. 



4 Ora egli è facile di diinoflrare che ciafcheduna del-le 

 otto formole precedenti è la fielTa di ciafcheduna corrifpon- 

 dente delle due (i) e (2) trovate dall'immortale Eulero per 

 mezzo dei fecondi fattori cosz^-^ — ifin2:,c(sz, — y/ — illnz,; 

 la qual cofa fi potrebbe ottenere in due moni diverlì, l'uno 

 fviluppando le mentovate formole in ferie, 1' altro parago- 

 nandole immediatamente fra di loro. Ci fervirenìo di queft' 

 ultimo mezzo perchè più lemplice del primo . Sia dunque 

 per maggiore brevità iìnz = a ; cosz,=:b , e pongali mente 



he V'- I = - TTZTi ■' ^V~ ' ^"' =+ ' ' ^V^~ ' )^''+'=4-/-i ; 

 (^-,)4"f>__ I . ^j/ — jj4'.+3___y _ I ^ f, avrà ponendo 

 fuceffivamente nella formola (i) d' Eulero il numero arbitra- 

 rio n=:^'/J, ^n-\~i, 47^4-2, 4^-1-3, fi avrà dico l'equaiiiO- 

 ne (I) = (5) = (7) = (9) = (II) , cioè (i) = (5) ovvero 

 (&+«/ — ir + {b-a^ — i)^''=(a^h\/~ir-{-(a-b\/-iy; 

 moltiplico il ì° membro di quefta equazione per (^-i)'»"::;!, 

 ed ho ( a\/-- I -^b y" + (a\^ — i -{' b y\ onde ella diviene 

 {b — a^—iy" = (a\/ — I — by" moltiplicando il 1° o il 2" 

 membro di quefla equazione per ( — i )'"'=-}- 1 , effb iì traf- 

 forma precifamente nel 2° o i' membro della ffelTa equazione. 

 E (i) = (7) ovvero (b-^a\/'— i )'"+' +(b — a \/ — 1 y+' 



= — ■ — ; moltiplicando il 2* 



y — ' 



membro per ^-^ = i , fi hì--(a\/-i—by''+' 



^(a\/ — i+b y+' . Ma. — (a\/ — i—b ^'+' = ( — i )*"+' 

 {ay —i ~by"^'=(b-a\/ — I )*"+•;. dunque (i ) — (y)', 

 fimilraentc (i)=:(g), cioè (b-j-ay -^ iy''+'+{b--a\/—iy''+' 



S= _ ( 4 4. ^, |/ _ 1)4-.+. _ ( ^ _ ^ y^ _ i j4«-».x . Moltiplico il 



