A DIFFERENZE FINITE E PARZIALI. 829 



'1 , 3 , x . Paragonando con quefta le forinole degli altri 



Problemi, ne nafceranno altri Teoremi. 



PROBLEMA Vili. 



27. Data una ferie qualunque aritmetica (A) m, m-fn, 

 m + 2n , ecc. trovare in quante maniere da x termini di que- 

 Jìa ferie fi può formare il numero y . 



Sia Z y > H) il numero delle maniere cercato, e facendo pri- 

 mieramente x=:i , fia y = m -f- (m + nz) — im + nz. , alla 

 qual forma può fempre ridurli il numero/, fé pure può ef- 

 fer la fomma di due termini della ferie (A). Ma per la na- 

 tura delle progreflioni aritmetiche tra i termini m ed m + nz. 

 ve ne fono altri di numero z.— 1 , il primo de' quali e l'ul- 

 timo , il fecondo e il penultimo , e gli altri nel medefimo 

 ordine danno iniìeme 1' ideilo numero / ; ove lì ofiervi che 

 fé z,— 1 è difpari , il doppio del termine medio è uguale al 



2 -f- 2 

 medefimo numero/. Dunque avremo Z (J V ) = , 



z, -f- 1 .... 



o = , fecondochè z. è pari o difpari ; quindi nell' uno 



e nell' altro cafo avremo Z^~" , 1} = Z Cjf > 2) — i , 



Z(y- 3 ",^ = Z^- n >^—i, e generalmente Z^-f 4 ". 2 -> 



Sia adeffo x = 3, ed y=zm-i- m + (m -f nz)-=^im-\-nz, ; le 

 lettere poi e , d , e liano i termini della ferie (A) , dalla 

 fomma de' quali nafee/, cioè fia y z=. e + d -\- e ■ Se facciamo 

 c = m, avremo d +- e = zm + nz, Io che può fuccedere in 

 Z 0- " 1 ' maniere; fé cz=m + n, farà d + e =2 zm-\-n(z.— 1), 

 il che fuccede in z i3 ~ m -"> 2) maniere . Similmente fé c = m 

 + 2», m+3», w-f-4« , ecc. faranno i numeri delle manie- 

 re rifpettivi z c J'- m -"»'>, z^- m - ìn , 2 > , Z^-" 1 - 4 "'^ , ecc. Ma 

 li ofiervi, che delle maniere rapprefentate da Z (J,_m- "' 2) una 

 dà d = a, la qual maniera è contenuta in quelle efpreffe da 

 2^y-»>,*) . Cosi Z^- m - 2 % ,) , zO-">-3» , *) , z <- >-'"-*" , *> , ecc, 

 contengono due , tre , quattro , ecc. maniere T che fono già 

 fiate contate . 



Ora per trovare il valore di Z Cjl > 3) convien fommare tut- 

 te quefte particolari maniere, e farà perciò 



M m m in m iij 



