A DIFFERENZE FINITE E PARZIALI . 843 



Facciamo II = Z , e foftituendo quefto 



valore nella feconda equazione effa diventerà 

 (y — f.x,x) (y—.<p.X — F.X,X) 



z =A z 



M 



(j, f. X — F( X — I ) , X — l ) 



4-B Z 



M 



Ma dalla prima equazione abbiamo 



{y — f.x^x) (y — <p.x — f.x,x) 



z —A Z 



M 



(y — f.x — f .x , x — 1 ) 

 + B Z 



Dunque y — f.x — F(x — i ) =/ — f.x — F.x , cioè 



F.x — F{x — 1 ) =.f'.x — f.x , e 



F. * = £(/'(*+ O— f{x-\- i))-f-Coft. La coftante fi 



determinerà cosi. Sia ÌZf'(x-\-i) — £/( x -f- i ) = a nel 



cafo di x = 1 , e fi abbia n^» ,J = Z a ~ i ' ,, 3 avremo F.\-b t 



e Coft. = £ — <?. 



46. Si abbiano per efempio le due equazioni 

 1p , *) — Z ( y- X 1 *•> -|- Z * > "~' } 



n 0, > * ; = n fjr -" » "> -f- n fjr "* • " -,) 



Ja prima delle quali appartiene al n°. 25 , la feconda al n°. 



xfx -f- 1 ) 



20 . Avremo F.x = 2(x-}-i )= ■ h Coft. Ora fi of- 



2 



fervi che 



Z<°>«>=i , Z< l .'>=i, Z<'.«>=i, ecc. 



n(%') = o,nc,')=i, nc"-,*)=x, ecc. 



dunque FK^'^ZP- 1 ,^ cioè b=t, a=i, e la coftante 



= 0: quindi F.X= , e n c ''" , = Z^-<" + ,):2 »" > . 



Di qui nafce il Teorema : In quante maniere il numero / 

 può dividerli in x parti difuguali , in altrettante il numero 



x(x+ 1) 

 y può nafcere dalla fomma de' numeri I, 2, 3,... x. 



O o o o ij 



