iS4 Delle VARIAZIONI *" 



foftituifcano quefti valori neirefpreffione (A), e fi avrà 



(K) ùiz.z=P-\-acj'-^aax-{-2bijj>-\-bix' 



Per determinare la funzione P iì trovi il differenziale dx. 

 =. ajdx -j- axdy -j- ibj'dj' , indi la variazione finita di quefto 

 difierenziale (Gap. i.J 



ùdz. = adxù^jf 4- ad/:^x -f- ibdj^^f = af/dx 4- aoodj' -f- ibfj^dj' . 

 Ma A^/z = ^^2, = dP~{- acùd/ -)- <7^'^;!c -f- ib ■d}' . 

 Dunque ^P = 2^^^/, e P = a^^-j- coft./.Ora nel valore (K) 

 è già comprefa la funzione del modulo fjL fimile alla funzio- 

 ne bj>' ; dunque cofl. fr^aoofx funzione de' moduli w,jw Umi- 

 le alla funzione axy . In confeguenza 

 ù { axy-]-by ):=:au)j'-{'afj.x -f- ibuj'-\-bix'-}-aaiy . 



IL E/empio. » 



Sia z. = axy-{-bxy*. Porto prima 2, = ^x>, farà ^z 

 = 2aj'xdx , Ji'z.T^zaj'dx' , ^'z, , ^'z. ecc. =o . Similmen- 

 te ^^z. = ax^dj>, ^'z. ., H^z. ecc. =o , e però fatte quelle fo- 

 ftituzioni nella forma {A\ del Problema, fi avrà 

 Laxyz=2a'joxj'-\-a(x)y-\-aiJX^-\-P', porto P' una parte di P 

 corrifpondente al primo termine dell' efprertìone propofta . 

 Differenziando ■z.z=.axy , fi ottiene dz.i=iaxjdx + ax'dj , e 

 però ùdz. = 2adxAxj'-^adjilx' . Ed è per 1' efempio prece- 

 dente 2aùxj= la-jiy + layx + 2acàfj., e a£:^x^ = zaccx + a<x>^ 

 (Cap. I.) . Dunque Ùidz.=:i2a,ydx + zafj-xdx + 2aaiJ.dx 

 + zaoixdf + aoo^dj' = dùz. . Quindi artlimendo per Ciz. il va- 

 lore trovato , differenziandolo , e paragonandolo a Ùdz. , (i 

 troverà dP' =z zaccf/dx , e però P'=2au)tJ.x + c . Ma e deve 

 elTere una funzione in wu fimile alla funzione axy propo- 

 fla, cioè a'jù'-ix. In confeguenza farà 



( K' ) ù^ax^ = za'^xy -\- aoù'/ + afjix' + 2a'S);jx 4- a-jù^jj. . 



Sia ora di nuovo per riguardo al fecondo termine 

 ■z.— bxy^ ; farà ^z.=i2bj''xdx , ^'z.= 2bydx* , e ^'z ecc. 

 = 0. Similmente ^z,=:2bxyd/ ^^'z.zzzzbx'dj'' ,^^ z.ecc.:=:o. 

 Fatte querte foftituzioni farà 



ùbxy^ = zb-jùXj'^ + boùY + ibfj-xy + bu'x^ -f- P" . Porto ciò , Ci 

 differenza z.t=zbxy* , e fi avrà dz,— 2b}''xdx + 2bxyd/ , e 

 però ù^dz=z 2bdx ^xjf' + zbdy ùyx'- . Ma porto nella varia- 

 zione del termine precedente (K! ) zb ìa luogo di ;? , fi ha 



zbùxy 



