198 Delle variazioni 



<^/'Z ecc. , e (p per ùZ , farà generalmente 

 cf> = P 



Il che ecc. 



Efempio . 



Sìa. iaxj'dx-^-ax'4y ■\-bdy-\-ccix una formula differenziale 

 da cui lì tratti di rimontare alla forma finita cD , onde l'in- 

 tegrale di quella formula fia uguale a Sp . Eflendo pertan- 

 to M^iaxjr + c , N=ax' + b , farà ^M = 2ajdx , ^'M, 

 ^'M ecc. = o. Ed è pure //N , ^W ecc.=:o; dunque fatte 

 quefte fortituzioni nelle forme precedenti fi avrà 



= P -f laùTfx + C(o + aooy + a/jix^ + bfj. . 

 Per definire la funzione P fi confideri, che dovendo effere 

 2(f) — f{Mdx + Nd}'), farà differenziando 



d'E<p = Mdx + Ndj = zaxydx -\- ax'dj + bdj + cdx . 

 Ma d'Zp = S^M , e dpz=dP+ za'^ydx -\- zwjùxdy 4- Wjù'dy 

 4- iaij.xdx =1 dR . Dunque 'Zdp = 2^R = laxjdx + ^;v'4v 

 + ^^4-c^,v, e però differenziando finitamente, farà 

 dK =:dP + zawjdx -f- lacoxdj + U'xi'dy + zafxxdx r= radx^xy 

 + adjùiX^ = 2 <7</Ar ( c^/ -f ^;c 4- &)/ji ) 4- 2^aj^<(;' 4- <2w'^ . 

 In confeguenza dP = 2a(o/jidx , e P = zawiJ.x. Dunque 

 (A) ..... o r= laxXJf 4- (70)'/ 4- <7^X^ 4- laoùfJ-X 4- cm 4- bfX . 

 In fatti dalla forma {A) H può immediatamente difcendere 

 al differenziale (B) 



(B) 2axydx + ax'dy + bdy -{■ cdx 



col tramutare il modulo o) nel modulo infinitefimo dx , e 

 il modulo // nell' infinitamente piccolo dy , rigettando gl'in- 

 finitefimi di fecondo ordine. 



