5='8 Ricerche analitiche 



fti Autori , e dicono : prendendo infinita la. x , e però la 



ÌJ/T 



yz=o, r efpredìone (<?' — yx) fi cangia in 



'fi n 



.7r«', vale a dire in ■ moltiplicato pel cilindro 



zm — n rm — n ^ ^ 



generato dalla rivoluzione del quadrato AG intorno all'afin- 

 toto . Da ciò inferifcono il feguente general Teorema: Nelle 

 iperbole equilatere di qualunque genere o grado l' iperboloide 

 afintotìco infinitamente lungo prodotto dal ri-volgimento dello 

 (paz.io GFED intorno al fuo afmtoto fia al cilindro nato dal- 

 la rivolux.ione del quadrato AG come fia n : im — n , vale a 

 dire queir iperboloide e fempre finito e afiegnabile , eccettuato 

 /' unico cafo di 2m = n, in cui diventa infinito. 



4. La fallita di quefto Teorema li mette ad evidenza fott' 

 occhio con far vedere , che non nel folo cafo di 2W=», 

 ma anche in altri infiniti 1' iperboloide acquifta un valore 

 maggiore di qualunque dato , cioè a dire infinito . Per dimo- 

 ftrar ciò ripiglio T equazione ' 



/T^y^dxz=:. — — .7r<?^""+"'^";c'-C'»'J--'' J-cofl-. , ed effendo 

 n— zm ■ . 



per ipotefi j ■7ij''dx=iO allorché x = a , ritrovo come pri- 



n n 



ma cofl. = . T«^'"^-''=z: . Tta* , e quindi 



n— im n— zm 



l'iperboloide prodotto dal rivolgimento dello fpazio indeter- 

 minato GFNB intorno all' alintoto AE ha per mifura 



2m — n 



nnà^ 



( i — (^'"•-"y-" X ^"-^'"y-" ) . Se ora in queft' efpreflìo- 

 zm — n 



ne fi fa jv infinita, efia rapprefenta il valore dell'iperboloi- 

 de infinitamente lungo prodotto dalla rivoluzione dello fpa- 

 zio afintotico GFED intorno all' alintoto FÉ . Ma in tal 

 fuppofto di X infinita la detta efprefiione diventa vifibilmen- 

 te infinita tutte le volte che 1' efponente n dell' ordinata 

 nell' equazione di tutte le iperbole agli afintoti fupera il 

 doppio dell' efponente ^;i^ dell* afe iflTa . Egli è dunque eviden- 



