Ricerche analitiche 



ARTICOLO VI. 



^\ ■Teoremi fopra il Moltiplicatore , chi rende integrabili le 

 equazioni differenziali di primo ordine a più variabili . 



TEOREMA I. 



Se r equazione differenziale Pdx -[-^Idj'z^o fi moltiplica 

 per un fattore M , il quale fia una funzione delle variabili 

 ?f , 7 , come lo fono P , e ^ , le due equazioni Pdx 

 '-{- ^dy z=z o , MPdx -\-M'sidj =L o non ponno mai effere per 

 sé integrabili congiuntamente, trattone il cafo , in cui il fat- 

 tore M fia una tal funzione delle variabili , che il fuo va- 

 lore riefca coftante . 



T E O R E M A IL 



Ogni qual volta nell'equazione differenziale Pdx -\- ^dy :s. o 

 prendendo la differenza parziale di P per rapporto ad / , e 

 la differenza parziale di ^ per rapporto ad x, e fottraendo 

 quefta feconda dalla prima, e dividendo il relìduo per ^, ri- 

 fulterà per quoziente una funzione della fola variabile x ; fi 

 potrà fempre determinare una funzione della fteffa ,v, la qua- 

 le moltiplicando la propella equazione la renderà integrabile > 



On A >J 



TEOREMA riL 



Se nell' equazione Pdx~\-^djT=io , la quantità ^ ' 



-( "7— ■ r- ì farà una funzione della fola y , fi potrà fem- 



^^ àx dy ' y ' f 



pre determinare la forma del moltiplicatore M , il quale ef- 



fendo pure una funzione della fteffa y rende integrabile la 



detta equazione. ■ • ' ', ■ 



T E O R E M A IV. 



Se neir equazione differenziale di primo ordine a tre va- 

 riabili Pdx -]- ^dy -\- B^iz z==, fi prende la fomma della dif- 



