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A R T I C O L O I. 



'Diir e qif azioni tra tre variabili , 



I. Sia a una funzione qualunque di ^ , la quale ordi- 

 nata per le potenze di / , ci dia la serie »=jp.o-}-^a. i 



y'' f y'^ 



•+■ — ^ . 2 -}- —— ?> . 3 -f- -■ p . 4 + &c. in modo che JI 



2 2-3 2.3.4 ^ 



termine generale di quest;i serie sia ~ ® . jf . Se diffe- 



I . z . .. x^ 

 r-enziamo x volte questa equazione per rapporto ad^', avre- 



d"» y yì 



mo -^ — ^.x -\- y (p {x -{- 1) ■+ — ip (,^ -j_ 2) -^- .:i— ^ (a: -1-3^ 

 -h &c. Facciamo adesso 2^.,^ = p . AT + j © (,^ 4- i) H- 



Y <P (*■ + 2) + •— <P (^^ + 3) 4- &c., ove z,^ è funzione di 

 ^ ed / , ed avremo .z-,,.^, = p (^v 4- 1 ) + j^ ( ;>i: -1- 2 ) 



_i_ _-, r^ -|_ j) _f- &c. = — ; — Quindi per trovare Ja som- 

 ma della serie ,(p . jt -i- y p (a: -t- i ) H- — $ («■ + ^) -H 

 — — (f {x -A- l) -\- &c. dobbiamo integrare l' equav.io- 



*°^ ^z. />., 



ne t,^ , = — ; — . Ma Lt somm-a di quella serie è — 7T~ * 



dunque sarà ,z =: — -j-—- ^' integrale completo della prece- 



dente cquazioncj perchè comprende la funzione arbitra- 

 ria "^ .y ' 



AlVistesso intcj^rale potevamo ancora giungere median- 

 te la sola differenziazione della equazione proposta • Infatti 



ponendo x — i in luogo di at, avremo Zx= — ì.~!_ s e quin- 



^c^ , ^^^._, ^'^.~:, ''y^ -, 



di ^~' — '^ * , cioè z^ = it Diiferenziando 



dj df ^ df 



di nuovo due volte dopo di aver posto jr— 2 in luogo di x 



otterremo z^ = — ^^ = — tt^ » ^ ^^^^ P"*"^ ** ~ 



