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 cienri Ai , Bi . . . Mr saranno nnch' essi costanti . Po'^to ciò 

 per integrare l'equazione X' — i^X = P facciamo X = X1.X2, 

 e sostituendo avremo Xl'-Xi' ^ — <zXl.X2=P; e poiché 

 delle funzioni Xi ed Xi ne pos'ii-imo prendere una ad ar- 

 bitrio , poi7ghi:i:-no (d) Xi' — xXi = o , ed avremo ancora 



P 

 (e) aXi = r— 7 . Dalla equazione (//) prendendo i logaritmi , 



abbian-io I0-.X2' = log.Xz + log.» ; cioè A'og.X2 r= Iog.« , 



edX2 = .-'°S-'^^^^'; e quindi Xt=:S«-^'-^P , 



ed X=^ty. (r+Sfli .P)j ove gì' integrali si devo- 



no prendere nel sistema di diiterenza variabile , che regna 

 nella proposta . Sostituito questo valore di X 1' equazio- 

 ne diventa (a) zC"— ') -h Ai = ("—") -f- BiZ("— ^) • • . .+ MiZ = 



(c-\-^x • P) 5 la quale y siccome è di un'ordine 

 inferiore alla proposta , e contiene la costante arbitraria e , 

 ne sarà uno integrale primo completo ^ E se chiamiamo 

 eii , xz , &c. le altre radici delia equazione (e) , avremo al- 

 tri « — I integrali primi della proposta}, per mezzo de' qua- 

 li eliminando 2', zi' z("~'> otterremo 1' integrale fi- 

 nito completo CO' ì espresso ; z ^= 



K 



k kl ' 



essendo e, ci , ec. fr costanti arbitrarie.. 



Se h differenza di x fosse costante ed eguale ali* uni- 

 tà , avremmo "2 1 := x , ed il valore di z sareiibe in questo 



«'(f-l-Sa— ^— '. P) «i'(f i+rai— '— '.P) 

 caso z = —, -+- — — i -l-ec.; 



k SI 



il qual valore si cangia in quello trovato precedentemen- 

 te , se in luogo di x vi si pone 2i . Generalmente aven- 

 do integrata una equazione, in cui la differenza finita di x 

 sia eguale all' unit<à , ne potremo dedurre 1' integrale della 

 medesima equazione, allorché la diiferenza di jt è in qua- 

 lunque modo variabile; e per ciò ottenere basta solo, che 

 in luogo di X vi si ponga 2i , e questo integrale si pren- 

 da nel sistema di differenza variabile , che re,<7na nella pro- 

 posta . Potremo pertanto ottener facilmente 1' integrale di 

 tutte le precedenti equazioni > quando in esse la .t , in. 



