A R T I e O L O IV. 



Metotfo ^ciìerale per V integratone dell' equazioni tra tre 

 variabili , nelle quali i coejficienti sono costanti . 



29. 4 L'orche nell' equazioni lineari a differenze parziali 

 ±\_ finire e infinitesime i coefficienti son costanti , e 

 non vi è nlcun termine, clic non contenga la funzione z^ , 

 si può adoperare per la loro integrazione un' altro sempli- 

 cissimo metodo. Sia proposta l'equazione del prim' ordine 



»^_^, = Az.^ -t- B -y-^ . Ponghiamo z^ = a-'e!^-* , ove « e ^ 



sono quantità costanti, ed e il numero, che ha per loga- 

 ritmo iperbolico 1' unità. Sostituendo questo valore, e di- 

 videndo r equazione per (/."e^^ otterremo « = A -h B|3 ; la 

 qual' equazione e'^prime il rapporto, che devono aver tra 

 loro le quantità « e (3 , perchè z^-=^ o'.''e'^> soddisfaccia alia 

 proposta . Sarà dunque z^ = (A-f-B/3 )'<r'^J' = [ A'H- vA'" ' B(3 



+ ^^"""'^ A^'-'B'i^^ h B'/S'] .'^> ; il qual valore si 



può m.ettere sotto la torma z^ = A V + xA. """' B — ;— 



x(x-i) d\e^^^ d\eh dj 



A ^ ^ A'^-'B" — -— \-W———yt questo sarà 



2 ly dy' ^ 



un integrale particolare della proposta . 



Per dedurne ì' integrale completo si osservi , che po- 

 nendo nella proposta il precedente valore di z^ , essa di- 

 venterà identica. Ma, o cresca x dell' unità , o si diffe- 

 renzi z^ per rapporto ad^, è chiaro che in questa sosti- 

 tuzione si manterrà in ciascun termine inalterata la quanti- 

 tà f^-' , e solo si cangeranno i coefficienti e gli esponenti 

 della caratteristica d. E siccome (j può esser qualunque, se 

 dopo questa sostituzione si porranno tutti i tenrini della 

 equazione da una parte, svaniranno i coefficienti delle quan- 



, d.e'> d^e^> 

 tità e^" f ~~J7 *~T^~ ^ ^^' Qi""'^' » se nel valore di z^ in 



luogo di e'^' si ponesse una funzione qualunque '^■y ^i /, 



d- f d'-'-.y 

 svanirebbero egualmente i coefficienti di Cy, — 7^ — ri » ec. . 



' •' ay dy 



Tomo Fin. ' H h h h 



