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cioè, a motivo di log. z.' -f-log.i" -H log.z.'" + ec. = log.» , 



d'-\x—ay. ^x - 



à^H 1.2... K</y" 



f„ =^ 77; — ~~, ;; '~'r V , «— 1~ j posto , come 



■"' 1.2... ;/^ 1.2... (« — \)tdx ' ' ' ' 



sopra , ^=:io dopo le differenziazioni relative ad y, ed x^^a 

 dopo tutte le differenziazioni . 



Questo Teorema è stato dato senzn dimostrazione d.il 

 sommo Geometra La^Ua nelle Memorie dell' Accademia di 

 Parigi dell'anno i777-> per trovare il coefficiente di y" nel- 

 la serie , che nasce dal fattore {x — a)' . Noi lo avevamo 

 già dimostrato nel Tomo IV. della Società Italiana, ma la 

 dimostrazione precedente è assai più diretta . 



Dalle cose precedenti apparisce, che il Teoreina è ve- 

 ro, quando i — i ; ma quando /' > r , q^ non esprime che 

 il coefficiente di y nella serie, che è il n:edio aritmetico 

 tra tutte quelle le quali rappresentano il valore di u dipen- 

 dentemente dal fattore {x — a)' . Ma questa serie media 

 non ci dà il valore esarto di «, perchè con essa non si 

 soddisfi alla equazione z. = o , cioè non si assume tra X 

 e.<\ y quel rapporto, che è dato da questa equazione. 



Per mostrar ciò con un esempio semplicissimo, si pren- 

 da l'equazione {x — af —y\h -^ cxY — o ^ e si voglia svol- 

 gere il valore di x in una serie ordinata per le potenze di 

 y. Saranno x—a—y{h-\-cx), x—a-^y[h^cx) \ due fattori 

 della quantità z, , e questi fattori ci daranno le due serie 



Ar=*-4-(*H-% + c{ac'\-h)y'- -f- c'-^ac^h)»)^ -\- ec. 



x—a—{tic-^b)y H- c{ac-\-h)y'' — c'-{ac-\-b)yi -\- ec 

 ciascuna delle quali soddisfa all'equazione £=o . Se pren- 

 diamo di queste due serie il medio aritmetico, avremo 

 quella serie , che ci dà il Teorema di Laplace , cioè 



X = a -{- c{ttc -\- b)y^ -\- c\ac-{-b)y'' -^CQ. 

 ma questa non soddisfa alla equazione z,= o. 



Tomo Vili. O o o o 



