Di Paolo Ruffini . ^i5 



uguagli due dei tre risultati i3.**, la.**, 24.", i quali da lui 

 nascono ppr le pei mutazioni semplici di a.® genere fra le 

 x , x" , x" , x* ; io dico che dovrà ugu igliarli tutti e tre , 

 e però avremo il ris.° i.** — i3.*> = la." =: 24."' . 



I.® Abbiasi il ris <> 1.» = iS.®, ed = ia.° . Dovendo \\ 

 nsP la." f {^){-^')[x''"){x"')[x^) mantenere il proprio valore 

 per la permutazione, onde dal i.** nasce il iS.** (5. Iiitr. ) , 

 ne verrà il la." = f {%'') {x") {x") {x') [x-") — 24.''; ma iì 

 I .* ~ la.* per la ipotesi . Dunc^ue sarà il i.® = i3.*^ = ra.'' 

 = 34" . 



a* Sia il ris." i .^ — i3.°, ed =: 24.*» . Per 1' uguaglian- 

 za del 1 * al 13." risulterà il 24.*» •= la.» (5° Intr.)- Dun- 

 que ancora in questo caso avremo V indicata uguaglianza . 



3.» Posto il ris.* I.** — la.*, ed = 24.® , per la prima 

 di queste uguaglianze risulterà il 24.® = i3.*', e però ec. 

 Dunque ec. 



4- Se si voglia die la (A) abbia un numero < 6 di 

 valori differenti fra loro; in (B) il ris.® i.® dovrà necessaria- 

 mente conservare il proprio valore per una permutazione fra 

 due , o fra tutte e tre le radici x , x" , x" . 



Consideriamo in (B) la prima colonna verticale <► In que^ 

 sta contengonsi gli 1 . a. 3 = 6 risultati, che si formano 

 per le perniutaziuni tutte fi a le sole x ,x" ,x"' . Ora questi 

 sei risultati non possono essere tutti disuguali fra loro , per- 

 chè altrimenti i valori della (A) fra loro differenti non sareb- 

 hero ni< no di 6 . Dunque dovendo due di essi uguagliarsi 

 fra loro, e tale uguaglianza non potendo succedere, che pej 

 una permutazione fra due, o tutte e tre le radici x',x'\x"\ 

 ne viene {>el (5° Intr.) che ancora il ris.** i.*", e per con- 

 seguenza la funzione (A) dovrà conservare il proprio valore 

 per la permutazione medesima . Dunque ec. 



5. Se la nostra funzione (A) è tale, che conservi il 

 proprio valore per due permutazioni semplici di i.** genere, 

 Ciidanna fra tre delle prime quattro radici x' , x" , x" , a-"*, 

 essa (A) noa potrà avere più di due valori disuguali, men- 

 tre 



