Di Paolo Ruffini . 4' 7 



Osservando tutti i risultati, che nella presente ipotesi 

 nati sono dal 1.°;, veggo che tra essi i tre 1.°, 0.°, 4." 

 contengono tutti la x"" nel quarto luogo , perchè tal radice 

 non viene compresa dalla prima permutazione , e veggo 

 che per la nalura delle permutazioni semplici di i.° genere 

 in ciascuno dei loro primi tre luoghi ciascuna conticnesi del- 

 le x' , x' , r*', cosicché nel secondo luogo il risultato i ." 

 contiene la x" , il 3.^ contirne la x'" , ed il 4° ^^ ■^' • 

 Ora eseguendo sopra tpiesti risultati 1 .° , 3°, 4-** 1^ pernìu- 

 tazione seconda, tKtila formazione dei risultati 8.°, iìì.**, iì.^, 

 la radice, che occupava in quelli il luogo secondo, passa ad 

 occupare in questi il luogo quarto , e la radice del quarto 

 portasi nel terzo . Dunque il ris.'' 8.^ conterrà i>el luogo 

 quarto la x" , e però n«i primi tre le .r' , x'" , x"'' ; il 12.° 

 conterrà nel quarto la x"\e quindi t?ei primi tre le a:" , Jtr' , a" ^ ; 

 lo ii.° avendo nel quarto la x' , nei primi tre contenà le 

 x", x" , JT^; e finalmente il i ." avendo nel luogo quarto la 

 x''' , e nei tre primi le x , x" , .1/ ', ne segue che fra tutte 

 le combinazioni a tre a tre delle x , x" , x" , .r" una -ne 

 esisterà nei primi tre posti del lis.'' 1.^, un'altra nei primi 

 tre luoghi del ris.° 8.*^ , una terza nei tre posti primi del 

 ris.*' 12.°, e r ultima nei primi tre luoghi del ris.' 11.*' Le 

 radici dunque, che esistono nei primi tre luoghi di uno fra 

 i risultati i.°, 0.°, ia.°, ii.^ essendo in complesso diverse 

 dalle esistenti nei primi tre luoghi di un altro ; ne vie- 

 ne evidentemente , che eseguendo su cadauno di questi 

 1 * , 8." , la.**, 1 1 .° la permutazione prima, si produrranno 

 dodici risultati di forma diversa , i quali precedentemente 

 abbiamo dimosti-ati tutti fra loro uguali, e tali sono gli indi- 

 cati in (I) nella prima linea orizzontale. 



Supponghiamo ora , che la primi dtìlle permutazioni 

 supposte invece delle x , x'\ x'" riguardi altre tre quali si 

 vogliono delle x' , x" , x'" , x"" , e supporghiamo che lo 

 stesso faccia pur anche ;, se cosi piace, la permutazione se- 

 conda . In tale supposizione sempre troveremo che ottenuti 

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