Di Paolo Ruffini . 4^5 



Siippongliiamo, che fra le supposteZ",Z"', Z"°,Z'" per esem- 

 pio la Z"' mantenga il proprio valore per una pernnilH?ione 

 qualunque per esempio per quella fra tutte e tre le a' , Jr"", x". 

 Se > mentre si cangiano tra loro nell' accennata maniera le 

 accennate x" , x-", x" ., non cangiasi la Z" ; è chiaro, che 

 alla mutazione istessa fra le stesse x'" , x"* , x" non si 

 cambierà neppure la quantità «^ Z'" , e però la Z = a' Z'" 

 (ii.° prec. ) ; ma ciò stesso si dice, qualunque altro caso vo= 

 glia supporsi . Dunque ec. 



i8. Se il coef. M della Z^ — M ZT o si vuol , che non. 

 ahbia piìi di due valori tra lor disuguali , la radice Z' della 

 supposta Equazione dovrà conservare il proprio valore per 

 la permutazione fra tutt« e tre le x' , x" , x" . 



Avendosi M = Z' Z' Z" Z" Z" , "sarà M una funzione 

 razionale delle x , x' , x'" , x" , x'" ; e poiché essa non à 

 per la ipotesi più di due valori tra lor differenti , qin^sti pel 

 (n.° 14) saranno quei, che corrispondono ai risultati (li). 

 Posto adunque che la M abbia soltanto tai due valori , i va- 

 lori della Z corrispondenti ;, e tra lor disuguali ve lesi , che 

 saranno i soli dieci delle prime due file in ^C) . Ora suppon- 

 ghiamo di permutare in Z'= i-" f{x)[x"){x"')\x"")[x'") la a;' in x'\ 

 la x" in x" , e la x" in x : se non si vuole che sotto que- 

 sto cambiamento la Z' conservi il valor proprio , il risultato 

 f(x"){x"'){x')(x""){x'') , che ne viene, e che chiamerò Z"', do- 

 vrà uguagliare uno dei nove valori Z", Z", ec. Z"", che resta- 

 no della Z : se ciò non fosse, la Z avrebbe più di dieci va- 

 lori diversi contro quel, che abbiamo detto. Uguaglisi per 

 tanto in primo luogo il risultato Z'' ad una delle radici 

 Z" , Z'" , Z"" , Z'" , per esempio alla Z"" ; quindi avremo 

 Z" ~ 0} Z' {n.^ 16) . Rinoviamo sopra Z'" =f{x"){x'"){x){^''')[x'') 

 il cambiamento medesimo di x in x" , di x" in x" ■, e di a: ' in .r', 

 e chiamiamo Z"" il risultato / {x"'){x'){x"){x"^){x'") , che ne 

 viene . Ora nella maniera istessa con cui da Z' è nato Z"' , 

 cosi da Z"' è nato Z"" , ma dalla prima di queste operazio- 

 ni ci è risultato per la ipotesi Z" = «' Z' ; duncjue la forma 

 Tomo X. Hhh del- 



