Di Paolo Ruffini . A^rj 



nel caso secondo della seconda supposizione le due fra le 

 Z''' , ce. Z', a cui voglionsi ugnali le Z", Z"" ; si-mpre eoa 

 lo stesso raziocinio trovasi, che ne risulta l'assurdo di i — ad 

 una delle « , «^ , a* , «^ , e ciò per essL-re il 5 numero pri- 

 mo con il 3 , e perchè in fine sempre si ricava Z = cJ^ Z' , . 

 oppure Z'' = a.^^ Z"' , in cui /? < 5 . Dunque non potendo 

 la Z*' uguagliare veruna delle Z", Z" ec. Z', ne seguej che 

 dovrà essere Z"' — Z ; e però ec. 



I.* Nella presente supposizione la Z' conserverà sempre 

 il proprio valore, qnaluncjue siansi fra le a:', x' , x'", jr", x^ 

 le tre radici , che vengon comprese nella supposta permuta- 

 zione , e ciò si dimostra affatto, come precedentemente. 



2.° Il Teorema medesimo è facile a vedersi , che si veri- 

 fica eziandio , mentre si voglia , che i ris ' Z', Z ', Z", Z^, Z* 

 radici della Z' — Miro nascan l'uno dall'altro per un' al- 

 tra permutazione semplice di i.° genere fra tutte e cinque 

 le oc^x', x'",x"",x" diversa dalla supposta nel (n.° i6) ; e (àò 

 perchè anche in questo caso si verificano le Equazioni (IV). 

 19. Il coefficiente M della Z' — M = o deve avere un 

 numero > a di valori disuguali fra loro. 



Se ciò si nega , lar Z' dovrà conservare il proprio valore 

 per la permutazione fra tutte e tre le radici x , x' , x" 

 ( n." prec. ) , e, ritenute le denominazioni precedenti, avre- 

 mo Z' = Z" . In conseguenza di ciò la radice Z" = 

 y (a:'") (ar"") (jr'") (jf) (jf") non cangeià di valore alla mutazio- 

 ne fra le x"\ x'" x'' (5." Intr. ) ; ma se la Z" resta la me- 

 desima pel cambiamento fra queste x'", x'', x" , pel cam- 

 biamento fra le stesse x" , *■'" , x^ deve rimanere la mede- 

 sinu^ anche la Z' ( n.° 17)- Dunque mantenendo la Z' il 

 proprio valore eziandio per la permutazione fra le radici degli 

 ultimi tre luoghi, per la permutazione istessa manterrà il pro- 

 prio ancora la Z"' — f {x'\x""){x'){x''){x'^) (5.'' Intr. ), e pe- 

 rò avremo Z" -f[x")[x'\x){x!''){x-^]^ =f {x"]\x"-){xyx-",{v) ; 

 ma Z'*' = Z' ; dunque sarà ancora Z' ^= f {x"){x'''){x""){x'"){x') , 

 e quindi Z' ~ Z" ( n.° 16) i ma pel citato (11.° 16) questo è 



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