Di Paolo Ruffini . ^Sj 



Lia per radici, che I valori della z ~f(x')(v") (x'") ....(x'*"^) 

 tra loro diversi . Dunque nessuno di questi ultimi valori 



2 ''"'"', ec. potendo essere radice della z' ■+- az*'~^ -4- ec 

 H- f3 -f- w = o ; ne segue , che , se in luogo di z porrò la 



quantità z<'+') , il risultato 2^''+'> + a^^'+'-'-'-i-ec. -^^s^'"^'^ 



non potrà diventare ~ — « . Ora nascendo la z ' dalla 



s per una determinata permutazione fra le x\ z", x", ec. ,x, 

 per la permutazione medesima nasce evidentemente ancora 



il risultato :s^'+'> -+-W'+'^— ' -+- ec. , + ^2^'+'^ dall' altro 

 s '+Gs''~' -i- ec. -{- tz'. Dunque questa quantità s '-h cz"""* 

 -H ec. -+- tz' , e quindi la — u , che I' uguaglia , sarà una 



funzione delle x , x" , x" , ec. , x , la quale per 1' indi- 

 cata permutazione cambierà di valore ; ma ciò non può esse- 

 re , perchè il coefficiente u deve conservare il proprio vaio- 



• i-v ( 9VÌ.\ 



re sotto quelle permutazioni fra le x , x" , ec. x , sotto 

 cui lo conservano i coefficienti M, N ec. e questi nella sovraes- 

 posta permutazione non cambian valore , perchè tanto la z 



come la s ' sono radici della (VII) . Dunque non potrà 

 iieppur esseve , che ec 



'^ Dunque , mentre la (F) sia Equazione generale ^ è im- 

 possibile, che una qualunque sua trasformata (VII), in cui 

 72 > I , sia capace giusta il ( n.° aS ) di ricevere la for- 

 ma (V). 



ag. Noi non sappiamo risolvere le Equazioni algebraiche 

 di forma diversa dalla (V) , (VI) , se non quando tali Equa- 

 zioni siano di grado < 5 , o trasformabili in altre di grado 

 parimenti < 5 , oppur dotate di una delle forme accennate . 

 Dunque se nella (F) supposta non riducibile giusta il (n.® fiS) 

 alle forme (V) , (VI) abbiamo m>^, non potremo mai ave- 

 re la soluzione di tale Equazione , se non trasformandola o 

 immediatamente , o mediatamente in im' altra di grado < 5 ^ 



in 



