Di Paolo Ruffini . <^^3 



niente ad j' il numero dei valori tra loro difFerentl di essa 

 Q licn può essere che =12, oppure = 6 , oppure = i . 



Chiamiamo Q, Q'", Q", Q% Q" i risultati che provengono 

 da Q' = F (.v) (r") (^x") {x'") (.1') per la permutazione sem- 

 plice di i.° genere ora supposta . Essendo per la ipotesi 

 Q' = Q" =. ec. = Q', tutti i valori della Q fra loro diver- 

 si verranno compresi fra i 24 della prima colonna in (G) 

 ( n.° aa. ) , e tra questi i dodici che corrispondono a quel- 

 li della prima riga in (I) saranno i dipendenti da j' (n."' prec.) . 

 Ora questi dodici valori della Q o voglionsi tutti disuguali 

 fra loro, o nò; se si vogliono disuguali tutti, allora il la 

 esprimendone il numero , il Teorema resterà provato nella 

 prima sua parte. Che se tra di loro vuoisi che esista una 

 qualche uguaglianza ; provenendo essi pel ( n.** 7. ) 1' uno 

 dall' altro solamente o per una permutazione semplice di 1.° 

 genere fra tre delle x , x" , x" , x" , o per una di gene- 

 re a.*" fra tutte e quattro queste radici ; ne viene che 

 Q' = F (x-) (<c") (x'") (x'^) {x") dovrà mantenere il proprio 

 valore sotto una , o piìi di queste ultime permutazioni . 



1° Supponghiamo che lo mantenga sotto una permu- 

 tazione semplice di i.° genere fra tre delle indicate quattro 

 radici, per esempio fra le x' , x" , x'" . Tra i precedenti ri- 

 sultati Q' , Q" , ec. , Q' due ne esistono evidentemente, in 

 niuno de' quali la a* occupa alcuno dei luoghi occupati in 

 Q' dalle tre radici supposte , cioè nel nostro esempio alcuno 

 dei luoghi i." , 2..^, 4-° ( 7-^ Intr. ); ed uno di questi ri- 

 sultati essendo Q' , ponghiamo che Q" sia 1' altro. Per la 

 natura della permutazione semplice di r.** genere, onde Q" 

 nasce da Q', e per essere il 5 numero primo, le radici che 

 esistono mgli indicati tre posti di Q'" non potendo essere in 

 tutto le stesse x' , x" , x"" esistenti ne' luoghi medesimi di 

 Q' ( 7.° latr. ) , tali siano per esempio le x", x'", x' . Ese- 

 guendo in Q"' la permutazione semplice di genere i.** fra 

 queste x", x"", x , dovrà Q" per la ipotesi, e pel (5." Intr.) 

 non cambiar di valore j dunque per la identicità supposta 



K k k a dei 



