19. Col metodo dei n. ij^ i5 si trova, che una radice dell* 

 altra equa zione jf' — 3fl'jfH- la^c—o è y f — «*rH-«*y'(f* — «*) ì 



-hy^( — *^c — /»*v''(f^ — <**)Y la quale, se tf<c, è reale unica e 



negativa (14). Se por <«>c, saremo pure al caso irriducibile, 

 ed al caso di abbiso5n;ire del ripiego dei coseni (20)» Per 

 questo e da considerare, c'ie se nella equazione esaminata 

 qui sopra x^ — ^a^x—ia^c^o in luop^o della x metteremo — jt, 

 risulterà T altra equazione x^ — ^a^x-{~2a^c=zo , le cui radici 

 perciò non saranno altro che le gii trovate della equazio" 

 ne precedente,, però da prendersi col segno contrario. Con 

 che restano esaurite tutte le radici della equazione duplice 

 X* — la^x ^ la^c =0 proposta da principio al n. ix. 



jo. Resta da parlare adesso delle altre due equazioni 

 x' -+- 3<»^x q;: ?tfV=r o , che colle altre due esaminate com- 

 prendano tutti i casi delle equazioni cubiche . Esaminiamo 

 prima la Jf^H-^rf^jf — za^c^zo, e consideriamola come caso 

 particolare dell' equazione jf' -i- 3«*Jf — za^c= la^y ^ equazio- 

 ne di una curva , il cui as^e sia DE ( fig. 5. ) colT origi- 

 ne delle ir in D . Qiiando jf=:o, sarà la'^yzzz — 2«V , cioè 

 jf. = — e. Presa pert'nto 1' ordinata DA = — e, sarà A un 

 punto della curva. Facciasi /^ = o, ed in questa ipotesi si 

 troverà jr* =r — a^ ; ed jf = ih (y/ — **), quantità immagina- 

 ria . Dunque la curva non ha vertici • Facendo ddy =: o , si 

 troverà ( presa dx costante ) óxdx'^ =: o y cioè r= o , Dun?- 

 que la curva ha un flesso contrario in A, punto corrispon- 

 dente alla X := o , L' esponente della equazione è dispari, 

 onde la curva alla destra ascenderà , ed alla sinistra si ab- 

 basserà (7,8) . Q^iindi r andamento della curva sarà come 

 QAEH , il quale mostra che 1' equazione data ha una so- 

 la radice reale DE , che è positiva . 



ji. Per trovare la DE analiticamente si metta jf= rH-2, 

 ed' operando come ai n. ij e i<5 , si avrà DE = x = 



V' (^a'c -h /»V(f' + «*)) -i-V(^a^c— a^y/(c^ -4- «»)) . L' in- 



dagine dell' espressione delle altre due radici è inutile per- 

 chè sono imma<f inarie. 



32. Col metodo spiegato si trava, che l'altra equazione 

 Jf' -+- ^a^x -f- ia^c=.o appartiene alla stessa curva QAEH, 



