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stituire alla t sette numeri successivamente presi uno dopo 

 V ;iltro nella serie dei numeri naturnli, come sarebbero i nu- 

 meri — 3, — 2, — I, o, I, 2,3- Dei sette numeri così risultanti 

 convien prendere le differenze prime, seconde, terze, quar- 

 te, quinte, e seste. Queste ultime saranno costanti. Allo- 

 ra convien estendere la serie delle differenze quinte da una 

 parte , e dall' altra . Indi successivamente sono da estendersi 

 le altre serie delle differenze quarte , terze , e seconde , per 

 potere così estendere in fine anche la- serie dei numeri tro- 

 vati da principio , fin dove si vedrà che i termini vanno a 

 cambiarsi di positivi in negativi, o al contrario, giacché 

 appunto dove si anno dei cambiamenti di segno si anno i 

 cercati limiti vicini alle radici . Con questo solo ogni Ana- 

 lista va a stancarsi assai più , che col mio metodo . 



98. Ma vi è anche di più, e non poco . Siccome que- 

 sto metodo soggiace al pericolo , che qualche copia di ra- 

 dici non si manTfesti e sfugga, il de la Grange prescrisse 

 un rimedio molto ingegnoso negli anni 1770, 1771 , cornc 

 dagli Atti di Berlino. Lo indicherò con un esempio dei più 

 semplici. L'equazione data sia x^ — -jx — 7 = 0. Questa 

 dev'essere trasformata in un'altra, mettendo x -h a in luogo 

 della ar, onde si abbia 3^:' + ^ajr H- «^ — 7 = o • Poi ^^ 

 queste due equazioni convien eliminare la x, con che si 

 otterrà «* — 42//'* + 441»* — 49 = 0, equazione, che deve 



pure essere trasformata con mettere a* = — , e così si ha 



' ■ J 



j^ — gy -+- tlL. — i_ = o . Si deve poi in luogo della y 



49 49 



sostituire successivamente i , 2 , 3 , ec. Si trova , che la 



radice positiva maggiore di questa equazione sta fra 1' 8 , 

 ed il 9 . La radice quadrata di codesto numero 9 è 3 i per 



la qual cosa si dovrà mettere X =: — , con che si ha 



3 

 %^ — 53Z — 189=0. Questa era la preparazione da farsi 



anche nella mia equazione del n. 81 dopo di averla libera- 

 ta dalle frazioni, e prima di trovare le indicate serie, per 

 poter esser certi di trovare dei limiti di tutte le radici po- 

 sitive . Altrettanto poi rimane da farsi per le radici negati- 

 ve avendo messo — x in luogo della x- 



Nn 2 



