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99. Solamente dopo una tanta fatica sì ha creduto fino^ 

 ra vi potesse esser luogo di passare ad altri metodi , che 

 portino ad un?, ulteriore approssimazione alle radici, giac- 

 ché tutti questi metodi, che indicherò, supponevano ti'ovati 

 i limiti suddetti , Tra questi metodi giusta lo stesso de la 

 Grange il p'^à seguitato era quello del Newton » L' esporrò 

 con un esempio. Sia l'equazione x' — ■/,x — 20 = 0. Sieno 

 già trovati i limiti delle sue radici; ed uno di essi si dica p. 

 Mette egli x=^p-\-Z, e fa la sostituzii^ne, trascurando tut- 

 ti i termini che contengono la z. elevata a qu'lche pode- 

 stà, giacche posta f valore prossimo alla radice, la 2. riesce 



— />' -I- 3/» + 20 

 una quantità piccola. Cosi trova z = r — , 



if -+- 2-0 



quantità da aggiungersi alla ^, per avere^ + z=: — j 



valore vicino alia radice x più delia sola /> . Qiiesto nuovo 

 valore si metta in luogo della ^ , ed operando come sopra 

 si arriverà ad un altro valore anche più vicino alla radice , 

 e così di seguito . 



100. Venne in appresso il Taylor , col suo metodo , 

 che poi si risolve in quello del Newton . Si cerchi la x 

 dcir anzidetta equazione jc' — ^x — 20 = o (A) • A queno 

 fine mette x = p -\- z . Sarà perciò X >■ f , e sostituendo la f 

 in A in luogo della :v , non si potrà avere zero, ma sarà 

 }^ — ÌF — 20 =j; . Posta indi dp costante, trova ^y^^ if ^f 



dy tfdy 



— 3^^/ * tioè 3/ — 3 =^ - , ddj = Ópdp% onde sf - 7^ , 



i^y = óif , onde i = — — - . 



6dp' 



101. Ora in A in luogo delia x si metta /> -f 2 , e si 

 avrì (/ H- z.)' — j .{p-^-z.) — 20 =; o , ossia f -+- ì,f X. + 

 3/x' -h z' — if — jz — 20 = o, oppure f — 3/ — ^° 

 -H 2. . ( 3?^ — 3 ) -f- Z^ . ^Z» -h z' . I = o , e per ultimo 



zdy zCdd/ 7} . d^y 



4" 2^^ 6df 



102. Qi^ìì il T.iyior suppone esso pure trovaro con 

 qualche metodo un limite, o valore /> vicino alla radice Xy 

 cosicché per essere x=}-hz, sia 2 una quantità piccola ^ 



