25o Sull' equazioni ce. 



Tutta questa Teoria è appoggiata alla trasformazione del- 

 la equazione (A) nella (B) , e cessa perciò di aver luogo, 

 quando questa trasformazione non può eseguirsi . Nei casi , 

 ne' quali ciò succede , la proposta è sempre riducibile alla 

 forma 



e Laplace esaminando questa equazione asserisce che, eccet- 

 tuato il caso di i^^o , essa non è suscettibile d'integrale 

 completo j né pure espresso per una serie infinita. La dimo- 

 strazione , che egli ne dà , dipende dalla forma 



z = R -I- A ^ (yx) + A'/./^ f (,j) + A"/* dfi^(p (fi) + &c. 

 che assegna al valere di s , supponendo nulla una delle fun- 

 zioni arbitrarie ; e vien da lui evidentemente provato , che 

 z non può avere una tal forma, né pure per una serie infi- 

 nita . Ma è egli dimostrato , che il valor di z^ quando è 

 possibile, debba sempre avere questa forma? Laplace ha di- 

 mostrato , che sì può sempre riduri'e ad una tal forma il va- 

 lore di z , allorché è espresso in termini finiti j ma i suoi 

 ragionamenti non sono applicabili al caso , in cui è rappre- 

 sentato da una serie infinita . 



Posto ciò, invece della forma precedente, che progre- 

 disce per gli integrali della funzione arbitraria , la qual for- 

 ma non è la sola necessaria, prendiamone un'altra, che 

 proceda per i differenziali della medesima funzione , qual' è 

 la seguente 



s = R + A 95 (^) + A' h A" -~ + &c. 



e applicandovi il discorso di Laplace vedremo, che e'Sso non 

 ha alcuna forza per provarne 1' impossibilità , anzi ci persua- 

 deremo che è sempre possibile, qualunque valore si dia alla 

 quantità fx , che è una funzione determinata di x e di / . 

 Questa riflessione fu da me parecchi anni indietro comuni- 

 cata per lettera privata all'illustre Geometra Lacroix , come 



può 



