Di Pietro Paoli . 2.5 j 



in luogo di z la quantità e "'*+"''. ove j/i ed n sono costan- 

 ti , ed aviemo tra m ed re 1' equazione 



(e) m* -i- y m -h ^ — ìfi ~ o . 

 Ammessa tra /ii ed n la relazione stabilita in questa equazio- 

 ne sarà z ~ e"" "^ uà integrale particolare della proposta . 

 Si svolga adesso in una serie ordinata per le potenze di re la 



mx 



quantità e , e sia 



e"" =: A^ H- A, re -4- A^ re* H- Ajre' -h &c. 



avremo rnoltipiirando per e"' 



-/ z^ e"""-^"^ - A^ e"> -t- A^ ree"-' + K ^* «"^ + &c. 



la qual sene si può mettere sotto la forma 



d . e"^ d" . e'^ 



.-A.c->+A.-^-^A.-^^ + &c. 



Ora siccome questo valore di z soddisfa alla proposta , fatta- 

 ne la sostituzione in essa dovranno svanire separatamente i 



coefficienti di e'" , — ; , ~ , &c. a motivo di re qua- 



dy tìy '■ 



lunque . Quindi, se in luogo di e"-* ponghiamo una qua- 

 lunque funzione arbitraria di y , cioè (p . y ^ svaniranno 

 egualmente dopo la sostituzione i coefficienti di 



d . . y d* (p .y 



c5-y, ; — '— t , ■ ," ■• ,- ecc. , che sono quelli stessi di 



'^ - dy dy ^ 



d . c"^ d' .£"■'„ . r ■ 



e"-* j , , - — , (xc. Dunque soddisfarà alla proposta 



dy dy ^ ^ 



la serie 



z =: A^ gj ./ -h A, <^' H- A^ ^" -4- A, (j5" -f- ^c. , 

 e siccome due serie si ottengono per e"" , due simili valori 

 si avranno per s , e la loro somma, comprendendo due fun- 

 zioni arbitrarie, sarà l'integrale completo della pi-oposta . 



Parrebbe a prima vista , clic invece di prendere dalla 

 cqua/;ione (e) il valore di in per re, fosse più senq}li.je di 

 prender quello di n piM' m . Ma siccome non si avn-bbe che 

 una serie sola per esprimere il valore di e"^ , iicn si otter- 



Tomo X, K k reb- 



