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5Pa Riflessioni 



/, e z . Se e(Ia foddisi'à alle condizioni d'integrabilità , fi 

 potrà integrare nell'ipoteii , che le variabili x ^à y fiano 

 tra loro indipendenti, e l'integrale riferito alla Geometria 

 efprirnerù una fuperficie curva. Se poi i criteri d'integrabi- 

 lità non fono (oddisfatti , la propofta non potrà fufTiftere , 

 allorché le variabili Jc ed ^ fi riguardano come tra loro in- 

 dipendenti , e non rapprefenterà alcuna fuperlìcie . Ma poi- 

 ché le variabili x ed y devono tra loro dipendere , fé pren- 

 diamo una equazione qualunque tra a: ed^ , la propofta com- 

 binata con quella farà integrabile, e l'integrale foddisfarà 

 alla propofht , fé inficine con elio avrà luogo l'equazione af- 

 funta tra ;v ed / . Cioè in quello cafo la propofta non rap- 

 prefenterà una fuperficie curva , ma una curva di doppia 

 curvatura, efpreila dalle due equazioni precedenti: e la cur- 

 va di doppia curvatura rifolverà il problema ia quello cafo , 

 come nell'altro Io rifolveva la fuperficie curva. 



Il Sig. l,longi il primo ha rilevata l' inefattezza di que- 

 fto giudizio de' Geometri nelle Memorie della R. Accademia 

 delle Scienze di Parigi per l'anno 1784. Qucfto gran Geo- 

 metra ha ofiervato a priori , che l'equazioni riputate afl^ur- 

 de , fé fi riferifcono alla Geometria , rapprefentano proprietà 

 reali dell' eftenlione, e perciò elle fono reali. Ma quella pro- 

 prietà , che è efprefTa in una fola equazione differenziale , 

 non fi può rapprefentare con una fola equazione finita , ma 

 richiede necelìariamente due o più equazioni . In fatti , al- 

 lorché queft' equazioni non comprendono che tre fole varia- 

 bili , appartengono , come abbiam detto di fopra , ad una 

 curva di doppia curvatura; ed ognun fa che le curve di dop- 

 pia curvatura non 'Ci pofTono efprimere in termini liniti, che 

 mediante due equazioni. Tutte pertanto l'equazioni diftéren- 

 ziali , tanto quelle che foddisfanno alle condizioni d'integra- 

 bilità , che quelle , le quali non fono alle medefime condi- 

 zioni foggette, ha trovato il Sig. Mo'age eder capaci di una 

 vera integrazione , con quefta differenza però, che l'integra- 

 le delle prime è efprefTo da una fola equazione, mentre quel- 

 lo delle faconde non può efprimeni che col fiffema di piìi 

 equazioni limultanee . 



L'oggetto di quefte ricerche è quello d' illuftrare quello 

 puovo ramo di Calcolo Integrale, e di dedarre la teoria di 



