504 Riflessioni 



fé vi ioffc comprefa, ciò non farebbe altra differenia , fé non 

 che l'eliminazione di z. non farebbe cosi facile. 



Se loflè data una fola dell'equazioni (a), quella da per 

 fé fola non ci darebbe alcuna relazione tra le variabili x , 

 / , e z, , poiché due di effe non poirono effere tra loro in- 

 dipendenti a motivo de' criteri d'integrabilità non foddisfat- 

 ti , ma dovrebbe combinarli con un'altra equazione. QLieda 

 feconda equazione non eflendo data , il problema, in cui fi 

 cerca l'integrale della prima, farà in certa maniera indeter- 

 minato, e potrà prenderli per feconda equazione quella, che 

 pili ci piacerà. Ma poiché l'oggetto di quefta feconda equa- 

 zione è di ftabilire col mezzo di ella un rapporto tra due 

 delle variabili, per efempio tra x ed/, potremo fubito fup-, 

 porre che efla (ìa /=<?).«•, effendo (p . x una funzione qua- 

 lunque arbitraria di x . Soflituito quefto valore di / nella 

 propofta , efTa diventerà un'equazione tra due fole variabili 

 2. ed a' , ed efprimerà un rapporto reale tra z. ed x : e que- 

 {\o rapporto tra z. ed x efpieffo in termini finiti, e combi- 

 nato coir equazione / r= cj) . a: farà l'integrale dell'equazione 

 propofla . L'integrale pertanto di una equazione, nella qua- 

 le le condizioni d'integrabilità non fono foddisfatte , è con- 

 tenuto in due equazioni , che devono aver luogo nel mede- 

 iìmo tempo ; e quefl' equazioni contengono una funzione ar- 

 bitraria . 



Sia data per efempio l'equazione non integrabile da fé 



fola , dz. = aydx ~\- l/Jj' , ove a q b fono quantità coftanti : 



facciamo 7 = (;). ;>f , e foHituendo quefto valore , e ponendo 



d.<p.x d.(p'.x 



; = c^ . X , — z=.(p . X , ec. avremo az =: adx-p.x 



dx dx 



^bdxip'.x, ed integrando z. =: a fdxip.x -]- b(p.x . Quindi l'in- 

 tegrale della propofta è comprefo nelle due equazioni z 

 = afdx(p.x -j- bcp.x , ed / = (f.x , o fìa ( porto fdxip.x = \l,.x 

 per evitare il fegno fommatorio) nelle due feguenti z.z=^a^.x 

 -\--b\l,'.x, ed / = -4>'.a; . Infatti foflituendo quefl-o valore di 2. 

 nell'equazione dzzzzajdx -j- bdj/ avremo adx\l,'.x-]~bdx^l;".x 

 r=iajdx-\-bdy ^ la qual equazione è identica a motivo di/ 

 = 'Ij'.x , e dj' = dxl".x . 



Se vogliamo trasferire quefle cofe alla Geometria , e con- 

 fideriamo a-,/, e z. come le tre coordinate di una fuperfi- 



cie curva. 



