5c»6 Riflessioni 



iiìA l'cqujzione di condiiione non l'oddisfatta ci avverte che 

 una tal fuperfìcie non elìiìe . 



II. Quantunque poiìa. j' = <p.x l'equazione differenziale 

 tra tre variabili lì riduca ad eflcr tra due fole, e perciò ca- 

 pace d'integrazione fecondo i foliti metodi; pure quefta in- 

 tegrazione farà per lo più adai diflìcile , e !a ditiìcoltà in 

 gran parte nafcerà dalla funzione arbitraria (p.x , che vi (i è 

 introdotta. Qiiindi per ottenere l'integrale in termini finiti 

 converrà ricorrere ad altri artifizi . Incominciamo dal cerca- 

 re un integrale particolare , perchè da quello potremo poi 

 dedurre l'integrale completo . Data l'equazione yidz,-{-Bdx' 

 -f- Cd}' = o non integrabile da fé fola , ficcome polfumo 

 prenderne un'altra ad arbitrio, che abbia luogo inlìeme con 

 lei, prendiamo un'equazione qualunque M = a , ove fìa M 

 una funzione determinata di x ed y , ed a una collante ar- 

 bitraria . Per mezzo di quefta equazione eliminiamo dalla 

 propofla una delle variabili , ed il di lei integrale fia allora 

 N = /3, eflendo /S la coRante arbitraria introdotta dalia in- 

 tegrazione. Le due equazioni M = «, N=0 confiderate in- 

 fieme foddisfaranno alla propofla , e ne faranno perciò un 

 integrale particolare . Riguardo alla funzione M , bifogna 

 proccurare di prenderla in modo, che dalla propofla combi- 

 nata coir equazione Mz=x , ne nafca una equazione facil- 

 mente integrabile . Ma in qualunque modo fi prenda , fi avrà 

 fempre un'equazione tra due variabili , l'integrazione della 

 quale fi fuppone data , quando lì tratta dell'equazioni tra 

 tre variabili. 



Trovato un integrale particolare , potremo da queOo 

 dedurre l'integrale completo , ufando il metodo immaginato 

 dal Sig. de la Grange di far variar le coRanti , il qual me- 

 todo ha tanto contribuito all' avanzamento dell' Analifi . A 

 queR' oggetto [\ offervi , che l'equazioni M=x,N=:/5 fod- 

 disfanno all'equazione propoRa , allorché a , *e /3 fono quan- 

 tità coRanti ; e perciò foRituiti i valori di <^2:. , e di <^ ri- 

 cavati dall'equazioni M^x, N = /3 nella propofta, efia di- 

 venta identica . Se adeffo fupponghiamo x e (3 variabili , la 

 propoRa foRituendovi i valori di ^z, e di ^ , non farà più 

 identica, ma diventerà della forma mdet-{-nd/3=zo . Faccia- 

 mo ;3 = <p.K , e queRa equazione ci darà >u -\-n<p'.o(, =zz o : e 



