SUL).' INTEGRAZIONE ecc. fog 



propofta . Ed ecco Ipiegata l'origine di quelle foluzioiu par- 

 ticolari, che alcune volte lì trovano foddisfare all'equazioni 

 da loro fiefTe non inte,'rabili , e cl>e vengono indicare dai 

 criterj d'integrabilità. Poiché è evidente che effe hanno luo- 

 go, quando le due equazioni componenti l'integrale comple- 

 to podbno ridurli ad una loia , e fono perciò comprcfc nel 

 niedeiiino integrale completo. 



IV. Se l'equazioni faranno tra quattro variabili , it 

 Sig. Mangi ftabiiilcc, che non ii potrà generalmente ad edc 

 foddisfare , che per mezzo di tre equazioni , le quali com- 

 prendano una funzione arbitraria di due variabili . Egli ec- 

 cettua però alcuni caii , ne' quali li può ad effe foddisfare 

 con due equazioni , che contengono una lunzijne arbitraria 

 di una loia variabile , come fuccede nell'integrale dell'equa- 

 zioni a tre variabili. Pure vedremo in breve, che in tutti i 

 cali fi può ad elle foddisfare con due fole ecjuazioni . Data 

 qualunque equazione Adu -\~ Bdz. ~\- Cdy -j- Ddx = o , che non 

 foJdisfaccia alle condizioni d'integrabilità, ponghiamo M=:xy 

 N = jS , ove liano M ed N du.; funzioni determinate di a:, 

 _;' , e 2,, ed a e <3 collanti arbitrane. D.i quefl' equazioni ri- 

 cavato il valore di z, e di/ in x, lì fofhtuifca nella propo- 

 rla , ed ella diventerà una equazione tra due fole variabili u 

 ed ,v , che integrata ci darà P -.^ y . L'equazioni M = fl, 

 N =. /3 , e P=.-y prefe iniiene fodtiisfanno alla propoRa , e 

 perciò fon-iruiti i valori di du , dz , e dj/ ricavati da efle 

 nella propofta, la rendono identica . Ciò è vero quando a, 

 13 , e y ion collanti ; ma fé fon riguardate come variabili , 

 la fo;fituzione dei valori di 0:1 , dz. , & d/ non renderà più 

 identica la propofla , ma ci darà una equazione della forma 

 ììidy -|- ndx -f pdfi = o . Facciami» .>'= P («,//) , e quella 



dt> dp 



equazione diventerà (m - — \-n]dx-l~fnj , -h P ) d ,i = o 



dx d0 ' 



QLiincii alla propoOa foddisfarà l'equazione P =: i ( M , N ) , 

 purc^ic con ella ahbiaa luogo anche l' ecjuazioni w-^-f-»r=7, 



:n --r^-\~p=za . Se noi facciamo M = x, ed N=/ , quello 



nictodo fi ridurrli ad integrar la propoila nella ipoteù dì .v 



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