sull" integrazione ecc. 511 



poiché la terza equazione è identica con la feconda . E' fa- 

 cile il vedere che quefle due equazioni foddisfanno alla pro- 

 poHa ; perchè la prima diHèrenziata ci dà 



2 udii -{- 2 xdz. -}- 2 z-dx = -4y 'dx — ■4''<^ — ij'df , 

 e foftituitovi il valore di v|y' ricavato dalla feconda 



zudit -\- zxdz. = — 2/^.v — zzdy , 

 che è la propofta . 



Sia data in fecondo luogo l'equazione 



xdu -\- fdz. — xdx — }'dj ■=. o . 

 Integrando nella ipotelì di x ed y coftanti avremo 

 xu-\-yz.^=^'\{x ^y) , e dal paragone del differenziale di quella 



equazione con la propoRa ne dedurremo xi-X-x:=. , 



^ dx 



dp T-i 

 2.-|-7=-7- • Dunque l' integrale della propoHa è efpreffo 



dalle tre equazioni 



d<p 



dx 



dp 

 -z. ■¥)> = — 



. . . "^^ ' 



Da quell'equazioni eliminiamo « e z, , ed avremo l'equazìo- 



^ . d(j> dp 



ne a difiere nze parziali a;- — \~ y -~ =:<p +x^ +y . L inte- 



dx dy 



X 



graie di quella equazione ci darà ^=zx' ~\-y^ •\-x\,.-'. il 



qual valore di $ fé fi fortituifce nelle tre equazioni integra- 

 li , efle diventeranno 



xu -\-yz. = .V' ^y + x\.. — 

 u = x^-^. — -4,'.- 



y y y 



'^~T y- ^ . 



Porte due qualunque di quefl'equa/.ioni ne feguc necelTana- 

 niente la terza: quindi due qualunque di efle efprimono l'in- 

 tegrale della propolla. 



