SULL' rMTEGRAZIONE CCC. 513 



terranno una funziono arbitraria. Trovate ruerte due e(]ua- 

 ziuni tra \c tre variabili -v , / , e z, la ricerca dell'integra- 

 le finito li ridurrà ai metodi ordinarj . Poiché , come abbia- 

 mo olTervato in principio (I), qualunque liano queit' equa- 

 zioni, o integrali da efle fole o no, elle ci daranno z. edj' 

 efprcfTe in .v in quantità finire, e quefla feconda integrazio- 

 ne non introdurrà alcuna nuova funzione arbitraria indipen- 

 dente dalla prima. Pertanto l'integrale finito di quefl' equa- 

 zioni del fecontl' ordine farà efprello in due equazioni , le 

 quali conterranno una funzione arbitraria . (^lindi fembra non 

 edere efatto ciò che afièrifce il Sig. Monge , che quefr' equa- 

 zioni cioè ammettono due integrali primi, ciafcuno de' quali 

 contiene una funzione arbitraria, ed un integrale finito, il 

 quale comprende due funzioni arbitrarie tra loro indipenden- 

 ti, come vedremo pili chiaramente in feguito. 



IX. Tutto adunque (i riduce alla ricerca dell' integcale 

 primo, per trovare il quale li uferanno degli artifiz; analo- 

 ghi a quelli impiegati di fopra per l'equazioni di priin' ordi- 

 ne .. JMa iTccome non faprei proporre alcun metodo che fem- 

 pre riefcifle, mi limiterò a dare alcuni cafi molto generali. 

 Polio (ifz^pdx, dzzzzpdx, fé l'equazione data diventerà una 

 funzione di x, p , />', ^.v , dp , dp\ farà ridotta al prim'or- 

 dine , e fi potranno ufare i metodi precedenti . Ove il oller- 

 vi che, fé le difièrenze d.v , dp , dp' faranno lineari, conver- 

 rà fempre integrare fuppofla x coft^ante, per evirare cosi fa- 

 cendo di avere i differenziali fotto la funzione arbitraria. Più 

 generalm.enre l'integrazione fuccederà , fé eflendo jt ed Z" due 

 quantità in qualunque modo compofìe di x^y. 2., dx , dy ^ 

 tìfx 5 farà data una equazione tra .y , X, 3^, rf.v, dX.^ e dX ■ 



Sia propofta per efempio l'equazione 



dy 

 xd'z. — 2 -T-d'y-\-x dx^ = o . 

 dx 



dy'- 

 Porta X colante avrò integrando xdx. — — =:</.v^..v, e pa- 



^ dx ' * . 



ragonando il dillerenziale di quefìa nella ipotefi che varj an- 

 che X con la propoda otterrò àz. — :':dx -^^ dx i .x . QLiind| 

 r integrale primo della propolla l'ara elj^cflb dalle due ^q^iw- 

 zioni flmultanee 



V vv - i i 



